Analyse et modélisation de formes optimales

Analysis and modeling of optimal shapes

• Auteur / Autrice : Ioana-Geanina Durus
• Direction : Dorin Bucur, Zakaria Belhachmi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/11/2008
• Etablissement(s) : Metz
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMAM - Laboratoire de Mathémathiques et Applications de Metz - UMR 7122 (....-2012)
• Jury : Président / Présidente : François Jouve
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernhard Burgeth, Giuseppe Buttazzo, Frédéric Hecht, Jan Sokolowski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Convergence (mathématiques)

Algorithmes génétiques

Formes (mathématiques)

Mots clés libres

Décollement de la membrane

Optimisation de formes

Gamma convergence

Résumé

L'objet de ce travail de thèse est l'étude théorique et numérique des quelques problèmes relevants de l'analyse et de la modélisation de forme. Les problèmes considérés sont issus d'applications modernes comme la modélisation de décollement de membrane par mouvements minimisants, des inégalités isopérimétriques et de traitement d'image. Analyse et optimisation de formes des valeurs propres de l'opérateur de conductivité. Dans un ouvert de mesure finie on considère le Laplacian avec conditions aux bord de type conductivité, i.e. Constantes localement ou globalement, avec constantes libres. Cet opérateur intervient dans le processus de détection de défauts par mesures au bord et a fait l'objet d'une première analyse par Greco et Lucia dans le cadre globalement constant. Nous étudions des propriétés qualitatives des valeurs propres en relation avec la géométrie, des inégalités isopérimétriques générales par réarrangement et/ou [gamma]-convergence, et nous implémentons un algorithme génétique pour déterminer les formes minimisantes pour les valeurs propres d'ordre petit, à mesure constante, La génération des formes est basée sur les niveaux des séries de Fourier tronquées, contrôlées par les coefficients. Simulation numérique du décollement d'un membrane. On étudie le modèle de décollement d'une membrane adhésive proposé par Bucur, Buttazzo et Lux, dans le cadre des mouvements minimisantes quasi-statiques. Suivant la dissipation de l'énergie, le décollement consiste en une évolution de domaines ou une évolution de mesures. Mon travail a consisté dans la simulation associées à des stratégies évolutionnaires en relation avec la dérivée de forme, méthodes des lignes de niveaux et la dérivation des mesures. Etude numérique du problème de localisation optimale. Nous nous intéressons à l'analyse numérique des différents problèmes de localisation optimale tels que le problème de chois optimal des pixels d'appui pour l'interpolation d'image ou la minimisation de la compliance (cadre linéaire ou non linéaire). Différentes méthodes sont utilisées, tels que le gradient topologique, les algorithmes génétiques et le calcul asymptotique par [gamma]-convergence

We are interested in a few problems which can be viewed in the framework of shape optimization like : the conductivity eigenvalue problem. In an open set of finite measure we considers the Laplacian with conductivity boundary conditions, i.e., constants locally or globally with free constants. The operator intervenes in the process of the defect identication of a material by electrostatic boundary measurements and was the subject of a first properties of the eigenvalues in relation with the geometry, general isoperimetric inequalities by rearrangement and/or [gamma]-convergence, and we implement a genetic with constant measure. The generation of the forms is based on the levels of truncated Fourier series, controlled by the coefficeints. Numerical implementation for debonding membranes. We study the model of quasistatic evolution of an adhesive membrane subjected to a debonding force proposed by Bucur, Buttazzo and Lux, within the framwork of the minimizing movements. According to the dissipation of energy the debonding process consisted in the numerical simulation of the debonding process in the two situations. Methods of descent are associated with the evolution strategies in relation to the shape derivative ; level set method and the mesure derivation. Numerical results for a few problem of optimal location. We are interested in the numeraical analysis of the various problems of optimal location such as the problem of best alternative of the pixels of support for the image interpolation or minimization of compliance (framework linear and not linear). Various methods are used, such as the topological gradient, the genetic algorithms and asymptotic calculation by [gamma]-convergence