Capacité zéro erreur pour les canaux quantiques

par Rex Antonio da Costa Medeiros

Thèse de doctorat en Informatique et réseaux

Sous la direction de Gérard Cohen.

Soutenue en 2008

à Paris, ENST en cotutelle avec Campina Grande, Universidade Federal .

mots clés

• Information, Théorie de l'
• Théorie quantique

Résumé

Dans cette thèse, nous généralisons la capacité à zéro-erreur de Shannon. Nous définissons la capacité à zéro-erreur quantique (CZEQ) comme étant le supremum des taux dans lesquels l’information classique peut être transmise à travers un canal quantique avec probabilité d’erreur égale à zéro. Le protocole de communication restreint les mots de code à des produits tensoriels d’états quantiques d’entrée, tandis que des mesures collectives entre plusieurs sorties du canal sont permises. Le problème de calculer la CZEQ est formulé en utilisant des outils de la théorie des graphes. Nous démontrons que la capacité à zéro-erreur d'un canal quantique dans un espace de Hilbert de dimension D peut toujours être atteinte par des ensembles d’états quantiques purs. Par rapport aux mesures, nous avons montré que des mesures de von Neumann collectives sont nécessaires et suffisantes pour atteindre la capacité. Nous analysons si la CZEQ est une généralisation non-triviale de la capacité à zéro-erreur de Shannon. Le terme “non-triviale” veut dire qu’il y a des canaux quantiques pour lesquels la capacité ne peut être atteinte qu’avec deux ou plus utilisations du canal, et que la capacité ne peut être atteinte que par des ensembles S contenants des états non-orthogonaux. Nous calculons la CZEQ de plusieurs canaux quantiques. En particulier, nous présentons un canal quantique pour lequel nous conjecturons que la CZEQ ne peut être atteinte que par un ensemble d’états quantiques non-orthogonaux et par un code de longueur deux ou plus. Finalement, nous démontrons que la CZEQ est bornée supérieurement par la capacité d’Holevo-Schumacher-Westmoreland.

Titre traduit

Zero-error capacity of quantum channels

Résumé

In this thesis, we generalise Shannon’s zero-error capacity of discrete memoryless channels to quantum channels. The quantum zero-error capacity (QZEC) is defined as being the maximum amount of classical information per channel use that can be sent over a noisy quantum channel, with the restriction that the probability of error must be equal to zero. The communication protocol restricts codewords to tensor products of input quantum states, where as collective measurements can be performed between several channel outputs. We reformulate the problem of finding the QZEC in terms of graph theory. We show that the capacity of a d-dimensional quantum channel can always be achieved by using an ensemble pure quantum states, and collective von Neumann measurements are necessary and sufficient to attain the channel capacity. We discuss whether the QZEC is a non-trivial generalisation of the classical zero-error capacity. By non-trivial we mean that there exist quantum channels requiring two or more channel uses in order to reach the capacity, and the capacity can only be attained by using ensembles of non-orthogonal quantum states at the channel input. We also calculate the QZEC of some quantum channels. In particular, we exhibit a quantum channel for which we claim the QZEC can only be reached by a set of non-orthogonal states. Finally, we demonstrate that the QZEC is upper bounded by the Holevo-Schumacher-Westmoreland capacity.