Analyse diophantienne et groupes linéaires
par Marco Illengo
Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique. Mathématiques pures
Sous la direction de Yuri Bilu et de Umberto Zannier.
Soutenue en 2008
à Bordeaux 1 .
mots clés-
Résumé
La première partie de cette thèse est inspirée d'un travail de Dvornicich et Zannier et cherche à connaître un "principe de divisibilité locale-globale" sur les tores algèbriques. Dvornicich et Zallier ont montré que, étant donné un nombre premier p, pour tout n < max {3,2(p - 1)} le principe ci-dessus vaut, mais que pour tout n ≥ p4 - p2 + 1 on trouve des contre-exemples. Dans leur preuve ils réduisent le problème à une certaine condition en termes de cohomologie de groupes : un p-groupe de matrices entières agissant sur un Fp-espace vectoriel. En suivant leur approche, dans cette thèse nous montrons que le principe de divisibilité locale-globale vaut pour chaque premier p ≠ 2 et chaque tore de dimension n < 3(p - 1). Nous montrons aussi que pour p ≠ 2 et n ≥ 3(p - 1) il existe au moins un tore qui ne jouit pas de ce principe. La deuxième partie de cette thèse est le résultat d'une collaboration avec Bilu et est inspirée de son travail sur l'effectivité du théorème de Siegel, c'est à dire sur la recherche des bornes du haut sur la taille des points S-entiers d'une courbe algèbrique "Siegelienne". Bilu a démontré un théorème de Siegel effectif pour certaines classes de courbes modulaires, c'est à dire pour (Xgamma, j) quand gamma est l'un des sous-groupes classiques gamma (N), gamma1 (N), gamma0 (N), pourvu que la paire correspondante (Xgamma,,j) soit Siegelienne. Dans cette thèse nous démontrons un théorème de Siegel effectif pour (Xgamma,,j) quan gamma est "presque quelconque" sous-groupe de congruence. Dans le niveau puissance d'un premier notre résultat est presque le meilleur possible : nos méthodes couvrent tous les cas sauf un, à équivalence près. Dans le cas général nous démontrons un théorème de Siegel effectif pour toute paire Siegelienne (Xgamma,,j), pourvu que le niveau de gamma ne divise pas un certain entier.
-
Titre traduit
Diophantine analysis and linear groups
-
Pas de résumé disponible.
