Homogénéisation de lois de conservation scalaires et d'équations de transport

Homogenization of scalar conservation laws and transport equations

• Auteur / Autrice : Anne-Laure Dalibard Roux
• Direction : Pierre-Louis Lions
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homogénéisation (équations différentielles)

Mécanique des fluides

Théorie du transport

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions d'une classe d'équations aux dérivées partielles avec des coefficients fortement oscillants. Dans un premier temps, on s'intéresse à une famille d'équations non linéaires, des lois de conservation scalaires hétérogènes, qui interviennent dans divers problèmes de la mécanique des fluides ou de l'électromagnétisme non linéaire. On suppose que le flux de cette équation est périodique en espace, et que la période des oscillations tend vers zéro. On identifie alors les profils asymptotiques microscopique et macroscopique de la solution, et on démontre un résultat de convergence forte ; en particulier, on montre que lorsque la condition initiale ne suit pas le profil microscopique dicté par l'équation, il se forme une couche initiale en temps durant laquelle les solutions s'adaptent à celui-ci. Dans un second temps, on considère une équation de transport linéaire, qui modélise l'évolution de la densité d'un ensemble de particules chargées dans un potentiel électrique aléatoire et très oscillant. On établit l'apparition d'oscillations microscopiques en temps et en espace dans la densité, en réponse à l'excitation par le potentiel électrique. On donne également des formules explicites pour l'opérateur de transport homogénéisé lorsque la dimension de l'espace est égale à un

In this thesis, we study the asymptotic behavior of solutions of a class of partial differential equations with strongly oscillating coefficients. First, we focus on a family of nonlinear evolution equations, namely parabolic scalar conservation laws. These equations are encountered in various problems of fluid mechanics and nonlinear electromagnetism. The flux is assumed to be periodic with respect to the space variable, and the period of the oscillations goes to zero. The asymptotic profiles in the microscopic and macroscopic variables are first identified. Then, we prove a result of strong convergence; in particular, when the initial data does not match the microscopic outline dictated by the equation, it is shown that there is an initial layer in time during which the solution adapts itself to this profile. The other equation studied in this thesis is a linear transport equation, modeling the evolution of the density of charged particles in a highly oscillating random electric potential. It is proved that the density has fast oscillations in time and space, as a response to the excitation by the electric potential. We also derive explicit formulas for the homogenized transport operator when the space dimension is equal to one