Compactly supported analytic indicies for Lie groupoids

Indices analytiques à support compact pour des groupoïdes de Lie

• Auteur / Autrice : Paulo Roberto Carrillo-Rouse
• Direction : Georges Skandalis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorèmes d'indices

Géométrie différentielle non commutative

Groupoïdes

Cohomologie

Groupes de Lie

K-théorie

Résumé

Pour un groupoïde de Lie on construit un morphisme d'indice analytique à valeurs dans un « bon quotient« du groupe de K-théorie de l'algèbre des fonctions à support compact sur le groupoïde. Cet indice est intermédiaire entre l'indice purement algébrique et l'indice analytique à valeurs dans la K-théorie de la C ̂*-algèbre associée au groupoïde. L'avantage de ces indices est que pour les groupes de K-théorie du type support compact on dispose d'un accouplement avec la cohomologie cyclique qui permet d'obtenir des invariants numériques. En particulier on montre que l'accouplement de l'indice d'un G-opérateur elliptique avec un cocycle cyclique périodique est toujours donné au niveau de la classe du symbole principal. La construction des indices à support compact est basée, comme pour le cas C ̂*-algèbre, sur le groupoïde tangent de Connes. En effet, on a été menés à construire une algèbre des fonctions lisses sur le groupoïde tangent qui réalise une déformation entre l'algèbre de convolution du groupoïde de base et l'algèbre de Schwartz de l'algébroïde. On retrouve finalement des formules d'indice de Connes, Connes-Moscovici et Benameur-Heitsch, mais d'une façon purement algébrique

For a Lie groupoid we construct an analytic index morphism taking values in a « good quotient« of the K-theory group of the algebra of compactly supported functions over the groupoid. This index is intermediate between the purely algebraic index and the analytic index in the K-theory of the C ̂*-algebra. The advantage of these indices is that for the K-theory groups like the compactly supported we have a pairing with the Cyclic cohomology that allow to obtain numerical invariants. In particular we show that the pairing of a G-elliptic operator with a periodic cyclic cocycle is always given at the level of the principal symbol class. The construction of our indices is also based, as in the C ̂*-algebra case, in the Connes tangent groupoid. Indeed, we had to construct an algebra of smooth functions over the tangent groupoid that performs a deformation between the convolution algebra of the base groupoid on the Schwartz algebra of the Lie algebroid. We finally found some index formulas by Connes, Connes-Moscovici and Benameur-Heitsch, but in a purely algebraic way