Chaos et ergodicité pour une famille de modèles de neurones

par Marc Senneret

Thèse de doctorat en Concepts fondamentaux de la physique

Sous la direction de Maurice Courbage.

Soutenue en 2007

à Paris 7 .

mots clés

• Théorie ergodique
• Neurones -- Modèles mathématiques
• Chaos (théorie des systèmes)
• Équations différentielles non linéaires

Résumé

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles décrivant l'activité neuronale. Dans une première partie, un rappel des principaux résultats concernant la biologie des neurones est fait. Nous analysons ensuite les deux modèles principaux de neurone que sont le modèle de Hodgkin-Huxley et celui de FitzHugh-Nagumo. Par une méthode de section de Poincaré, nous créons un modèle plus simple, linéaire par morceaux, conservant les propriétés essentielles de l'excitabilité. La thèse se poursuit avec l'étude numérique et analytique complète de la dynamique de deux de ces modèles couplés. La seconde partie présente les démonstrations rigoureuses montrant l'existence de mesure invariante de type SRB pour des systèmes modélisés par des applications affines par morceaux dans Rn, comme notre modèle précèdent. On utilise pour cela une méthode basée sur l'opérateur de Perron-Frobenius et l'inégalité de Lasota-Yorke. Ces résultats fournissent les fondations rigoureuses aux résultats de la première partie.

Titre traduit

Chaos and ergodicity for a family of models of neuronal activity

Résumé

This thesis present a mathematical analysis of models of neuronal activity. In a first part, we present the main results concerning the biology of neurons. We analyse two of the most used models of neuron, the Hodgkin-Huxley model and the FitzHugh-Nagumo model. . By a Poincaré section method, we make a simplier model, piece-wise linear, which keep the main features of excitability. We then study numericaly and analyticaly the dynamic of two coupled neurons, modeled by the precedent one. The second part is dedicated to the rigourous demonstration of the existence of invariant measures of SRB type for piece-wise affine maps of Rn, like our latter model. We use for this a method based on Frobenus-Perron operator and the inegality of Lasota-Yorke ; These results give the rigourous fondations for the results of the first part.