Techniques d'intervalles pour la résolution de systèmes d'équations

par Gilles Chabert

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Gilles Trombettoni.

Soutenue en 2007

à Nice , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) .

mots clés

• Calcul sur des intervalles
• Programmation par contraintes
• Équations à opérateurs non linéaires

Résumé

Cette thèse porte sur la résolution numérique de systèmes d'équations non-linéaires. Elle présente différentes théories basées sur le calcul par intervalles (analyse par intervalles, intervalles modaux, programmation par contraintes) et propose quelques avancées dans ces différents domaines. En analyse par intervalles, il est donné une extension de la méthode de Hansen-Bliek pour l'approximation extérieure de l'ensemble des solutions d'un système linéaire dont les coefficients varient dans des intervalles. L'extension proposée prend en compte la possibilité de choisir le quantificateur (existentiel ou universel) associé à certains coefficients du système. Cette liberté permet de modéliser un plus large éventail de problèmes. Une généralisation de la décomposition LU exploitant l'arithmétique de Kaucher est également proposée. Sur les intervalles modaux, nous proposons une construction originale de la théorie ; celle-ci s'articule autour de la notion d'image quantifée, généralisation naturelle de la notion d'image d'une fonction. La construction proposée présente certains avantages, comme celui de pouvoir donner un sens plus concret à l'arithmétique de Kaucher. En programmation par contraintes, nous étudions de nouvelles cohérences partielles reposant sur la structure d'unions d'intervalles. Cette structure peut être utilisée pour représenter plus finement le domaine des variables dans des systèmes de contraintes numériques. Nous montrons notamment dans quelle mesure, et à quel coût, la propriété d'arc-cohérence peut ainsi être obtenue grâce à cette nouvelle représentation. L'objectif principal de ce document est de fournir un aperçu des différentes théories, en s'efforçant de rester le plus rigoureux possible, et d'intégrer au _l du texte nos contributions. Un soin particulier est apporté pour traiter le cas des systèmes linéaires qui, d'une part, servent de base à la résolution dans le cas non-linéaire et, d'autre part, a été au centre de plusieurs de nos travaux.

Titre traduit

Interval techniques for solving systems of equations

Résumé

This dissertation is devoted to solving systems of nonlinear equations. It includes an introduction to various theories based on interval computations (interval analysis, modal intervals and constraint programming over the reals) as well as some new results in each of these areas. In interval analysis, we give an extension of the Hansen-Bliek method which computes an outer approximation of the solution set of interval linear systems. This extension allows more freedom in the choice of the quantifers (existential or universal) associated to the coefficients, thus handling a wider variety of problems. A generalization of the LU decomposition based on Kaucher's interval arithmetic is also given. We also propose a new formulation of the modal intervals theory, with the underlying concept of quantified range a natural generalization of the range of a function. This new approach allows to introduce Kaucher's arithmetic with a vivid meaning, and not only as an abstract algebraic extension of the classical interval arithmetic. In constraint programming, we study local consistencies with domains represented by unions of intervals. This structure is more adapted to store refinements of domains throughout propagation. We show to which extent arc-consistency can be achieved with this structure. Our main goal is to provide an overview of the different theories, endeavoring to be as rigorous as possible, and give our contributions along the way. A special care is brought to the linear case, one of our main field of study. This case is of considerable significance since all nonlinear methods are based upon it.