Preuves par induction dans le calcul des séquents modulo

Proof by induction in sequent calculus modulo

• Auteur / Autrice : Fabrice Nahon
• Direction : Claude Kirchner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 26/10/2007
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LORIA
• Jury : Président / Présidente : Michaël Rusinowitch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Kirchner, Michaël Rusinowitch, Thérèse Accart Hardin, Toby Walsh, Serge Autexier, Adel Bouhoula, Eugeniusz-Adam Cichon, Hélène Kirchner
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thérèse Accart Hardin, Toby Walsh

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie de la démonstration

Réécriture, Systèmes de (informatique)

Mots clés libres

Déduction modulo

Récurrence noethérienne

Résumé

Nous présentons une méthode originale de recherche de preuve par récurrence utilisant la surréduction. Elle a la particularité d'être fondée sur la déduction modulo et d'utiliser la surréduction pour sélectionner à la fois les variables de récurrence et les schémas d'instanciation. Elle donne également la possibilité de traduire directement toute dérivation effectuée avec succès en une preuve dans le calcul des séquents modulo. La correction et la complétude réfutationnelle de la méthode sont démontrées en théorie de la preuve. Nous étendons ensuite cette première approche aux théories de réécriture équationnelles constituées d'un système de réécriture R et d'un ensemble E d'égalités. A partir du moment où le système de réécriture équationnel (R,E) possède de bonnes propriétés de terminaison et de complétude suffisante, et si on suppose également que E préserve les constructeurs, la surréduction au niveau des positions les plus profondes où apparaît un symbole défini s'effectue uniquement à l'aide d'unificateurs qui sont également des substitutions constructeurs. Ceci est particulièrement intéressant dans le cas des théories associatives, ou associatives commutatives, pour lesquelles notre système de recherche de preuve a été raffiné.

We are presenting an original narrowing-based proof search method for inductive theorems. It has the specificity to be grounded on deduction modulo and to rely on narrowing to provide both induction variables and instantiation schemes. It also yields a direct translation from a successful proof search derivation to a proof in the sequent calculus. The method is shown to be correct and refutationally complete in a proof theoretical way. We are extending this first approach to equational rewrite theories given by a rewrite system R and a set E of equalities. Whenever the equational rewrite system (R,E) has good properties of termination, sufficient completeness, and whenever E is constructor preserving, narrowing at defined-innermost positions is performed with unifiers which are constructor substitutions. This is especially interesting for associative and associative-commutative theories for which the general proof search system is refined.