Méthodes d'analyse harmonique pour l'étude des équations de Navier-Stokes, de Boussinesq et de la Magnéto-Hydrodynamique

Harmonic analysis methods for the study of the Navier-Stokes, Bourssinesq and Magneto-hydrodynamics equations

• Auteur / Autrice : Nicolas Prioux
• Direction : Marco Cannone, Pierre Gilles Lemarié
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Université de Marne-la-Vallée (1991-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse harmonique (mathématiques)

Magnétohydrodynamique

Navier-Stokes, Équations de

Dynamique des fluides

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de quelques équations de la dynamique des fluides, en particulier les équations de Navier-Stokes (NS), de Boussinesq et de la magnétohydrodynamique (MHD). À l’aide de méthodes d’analyse harmonique nous obtenons des résultats d’existence, d’unicité et de stabilité asymptotique de solution pour un modèle abstrait d’équations aux dérivées partielles pour des données initiales petites. Nous appliquons ensuite ces résultats aux cas des équations de Boussinesq et de la MHD. Pour NS, nous obtenons aussi un lien entre les solutions mollifiées de Leray et les solutions mild de Kato pour des données initiales dans bmo−1, ainsi qu’un comportement en 1/pt pour un certain type de solutions locales en temps. Enfin, des résultats connus pour NS sont généralisés pour la MHD (solutions de Leray-Hopf, critère de régularité de Serrin, solutions mild dans les espaces de Besov).

This thesis is devoted to the study of some partial differential equations arising in fluid dynamics, such as the Navier-Stokes (NS), Boussinesq and magneto-hydrodynamic (MHD) equations. Using harmonic analysis tools, we obtain some existence, uniqueness and asymptotic stability of solutions from an abstract model of PDE’s for small data. Then, we apply these results to the case of Boussinesq and MHD equations. For NS we also obtain a link between mollified Leray solutions and Kato mild ones with initial data in bmo−1, as well as the behavior in 1/pt for a class of local in time solutions. Finally, we generalise some well known results for NS to the MHD equations (Leray-Hopf solutions, Serrin’s regularity result, mild solutions in Besov spaces)