Une contribution à la modélisation et à la commande des systèmes non linéaires à commutation

par Romain Bourdais

Thèse de doctorat en Informatique industrielle et automatique

Sous la direction de Pascal Yim et de Wilfrid Perruquetti.

Soutenue en 2007

à l'Ecole Centrale de Lille .

mots clés

• Systèmes à commutation
• Réseaux de Petri temporels
• Petri, Réseaux de
• Systèmes dynamiques hybrides
• Systèmes non linéaires -- Stabilité
• Liapounov, Fonctions de
• Liapounov, Stabilité de
• Estimation de paramètres
• Commande, Théorie de la

Résumé

Ce mémoire est dédié à l’étude de la stabilité des systèmes non linéaires à commutation, systèmes qui peuvent être considérés comme une abstraction de haut niveau d'un système hybride, dans lequel la dynamique discrète est complètement omise. Ce problème est abordé de manières différentes : la stabilité conditionnelle par contrôle des commutations, la stabilisation uniforme et la commande sans modèle. Après une large introduction, le second chapitre se focalise sur la construction d’une séquence de commutation qui assure la stabilité du système. Cette approche repose sur la réécriture du système non linéaire par une représentation polytopique, utilisée pour dégager des conditions suffisantes en termes d’inégalités matricielles. Dans le troisième chapitre, la stabilisation uniforme est abordée. Une condition nécessaire et suffisante y est dégagée, construite sur la notion nouvelle de fonction de Lyapunov contrôlée commune. Dans le quatrième chapitre, un modèle formel est introduit pour représenter uniquement l’ensemble des scénarios admissibles par la physique du système. Pour ce faire, un réseau de Petri temporel est utilisé, permettant ainsi par son analyse la caractérisation de l’ensemble des scénarios admissibles. Divers concepts de stabilité sont par suite appliqués au modèle résultant. Un dernier chapitre propose une approche originale des systèmes à commutation, par une commande sans modèle de ces derniers, c’est-à-dire sans en connaître la dynamique des différents modes. L’algorithme proposé est basé sur des méthodes algébriques d’estimations rapides de dérivées et de paramètres, assurant ainsi une stabilité pratique si les commutations ne sont pas trop rapides.

Titre traduit

A contribution to the modelling and the control of nonlinear switched systems

Résumé

The focus of this work is the stability analysis of nonlinear switched systems, which can be considered as a high level abstraction of hybrid systems. Five different chapters are devoted to this issue. After a general introduction, the second chapter proposes an algorithm to control the commutations, which ensures the conditional stability. The approach lies on the representation of the non linearities by a polytopic description. Then, some sufficient conditions are given by several matrix inequalities. The next chapter presents a necessary and sufficient condition to guarantee the uniform stabilisation of the switched system. This condition is based on a new notion: the common control Lyapunov function, which is used to have an explicit stabilizing control law. In the fourth chapter, we introduce a new formal model to represent switched systems in which some switchings are forbidden by the physics of the systems. The structure is composed of a switched system and a Time Petri Nets whose analysis is used to characterize all the allowed switching laws. Then, different stability tools are applied to this kind of hybrid systems. In the last chapter, we propose a new approach of the control of switched systems. The problem is tackled without a complete description of the sub-dynamics and even without knowing the switching signal. The proposed control design methodology is based on fast estimations of derivatives and parameters. The proposed algorithm ensures the practical stability, if the time between commutations is not too small, even if the signals are disturbed.