Étude de la structure galoisienne des unités dans les corps de nombres
par Thomas Herreng
Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs applications
Sous la direction de Bruno Anglès.
Soutenue en 2007
à Caen .
- Nombres algébriques, Théorie des
- Anneaux d'entiers
- Extensions abéliennes
- Groupes de classes (mathématiques)
- Galois, Théorie de
- Théorie d'Iwasawa
- Cyclotomie
mots clés
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Résumé
Le fameux théorème de la base normale donne la structure galoisienne d'une extension de corps de nombres. Il est naturel d'étudier la question de la structure galoisienne pour les modules arithmétiques. La réponse pour l'anneau des entiers algébriques est rappelée dans la première partie. Un autre module arithmétique fondamental est le groupe des unités, lié au groupe de classes. Les techniques mises en œuvre dans le cas des entiers semblent difficiles à adapter. On présente ici deux types d'approche. Au moyen des outils de la théorie d'Iwasawa, on obtient des informations sur la structure galoisienne des composantes isotypiques du groupe des unités de certaines extensions. Enfin, grâce aux systèmes d'Euler, on peut construire de nouveaux groupes d'unités qui coïncident dans certains cas avec les unités cyclotomiques.
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Titre traduit
On the Galois module structure of units in number fields
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Résumé
The well-known normal basis theorem gives the Galois structure of a Galois number field extension, thus raising the question for arithmetic modules within. This dissertation is concerned with two fundamental such objects, namely the ring of integers and the group of units linked to the class group. We start with recalling the Galois structure of the former. The study of the latter requires different techniques and occupies the major part of the dissertation. At first, using Iwasawa theory, we obtain results on the Galois structure of isotypical components for a certain class of extensions. Susenquently, we construct new groups of units by means of Euler systems and prove that they coincide with the cyclotomic units in some cases.
