Recherche d'inégalités oracles pour des problèmes inverses

par Clément Marteau

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Laurent Cavalier.

Soutenue en 2007

à Aix-Marseille 1 .

mots clés

• Problèmes inverses
• Estimation de paramètres

Résumé

Cette thèse s’intéresse aux problèmes inverses dans un cadre statistique. A partir des observations Y = Af + ǫξ, le but est d’approximer aussi fidèlement que possible la fonction f où A représente un opérateur compact, ǫ > 0 le niveau de bruit et ξ un bruit blanc gaussien. Etant données une procédure f⋆ et une collection d’estimateurs [et], une inégalité oracle permet de comparer, sans aucune hypothèse sur la fonction cible f et d’un point de vue non-asymptotique, les performances de f⋆ à celles du meilleur estimateur dans [et] connaissant f. Dans l’optique d’obtenir de telles inégalités, cette thèse s’articule autour de deux objectifs: une meilleure compréhension des problèmes inverses lorsque l’opérateur est mal-connu et l’extension de l’algorithme de minimisation de l’enveloppe du risque (RHM) à un domaine d’application plus large. La connaissance complète de l’opérateur A est en effet une hypothèse implicite dans la plupart des méthodes existantes. Il est cependant raisonnable de penser que ce dernier puisse être en partie, voire totalement inconnu. Dans un premier temps, nous généralisons donc la méthode de Stein par blocs pénalisée ainsi que l’algorithme RHM à cette situation. Ce dernier, initié par L. Cavalier et Y. Golubev, améliore considérablement les performances de la traditionnelle méthode d’estimation du risque sans biais. Cependant, cette nouvelle procédure ne concerne que les estimateurs par projection. En pratique, ces derniers sont souvent moins performants que les estimateurs de Tikhonov ou les procédures itératives, dans un certain sens beaucoup plus fines. Dans la dernière partie, nous étendons donc l’utilisation de l’enveloppe du risque à une gamme beaucoup plus large d’estimateurs.

Titre traduit

Oracle inequalities for inverse problems

Résumé

We consider in this thesis the statistical linear inverse problem Y = Af +ǫξ where A denotes a compact operator, ǫ a noise level and ξ a Gaussian white noise. The unknown function f has to be recovered from the indirect measurement Y. Given a family [et ], an oracle inequality compares the performances of an adaptive estimator f⋆ to the best one in [et]. Such an inequality is non-asymptotic and no specific informations on f are required. In this thesis, we propose different oracle inequalities in order to provide both a better understanding of regularization with a noisy operator and a generalization of the risk hull minimization (RHM) algorithm. For most of the existing methods, the operator A is assumed to be exactly known. This assumption is of major importance and may not be statisfied in many situations. In a first time, we extend the penalized blockwise Stein’s rule and the risk hull minimization algorithm performances to this situation. The RHM method has been initiated by L. Cavalier et Y. Golubev. It significantly improves the performances of the traditionnal unbiased risk estimation procedure. However, this algorithm only concerns projection estimation which is rather rough. There exist several regularization approaches with better performances. We may mention for instance the Tikhonov estimators or the Landweber iterative procedure. Hence, generalization of the RHM algorithm to a wide family of linear estimators may produce interesting results. This is the aim of the last part of this thesis.