Equations cohomologiques de flots riemanniens et de difféomorphismes d'Asonov

Cohomological equations of Riemannian flows and Asonov diffeomorphisms

• Auteur / Autrice : Akbar Dehghan-Nezhad
• Direction : Aziz El Kacimi Alaoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Valenciennes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités invariantes

Anosov, Flots d'

Feuilletages (mathématiques)

Difféomorphismes

Groupes cohomologiques

Équations algébriques

Résumé

Dans cette thèse, on étudie les équations cohomologiques discrètes et continues dans les situations qui suivent. 1- Pour un champ de vecteurs X qui définit un feuilletage riemannien complet sur une variété M, on donne explicitement les conditions qui permettent de résoudre complètement l'équation cohomologique continue. 2- Pour un champ X sur une la variété M obtenus (M et X) par suspension d'un difféomorphisme γ : N → N, on montre que l'équation cohomologique discrète du système dynamique discret (N, γ) est équivalente à l'équation cohomologique continue du système dynamique continu (M, X). 3- Dans le cas où la variété M est le quotient TAⁿ⁺¹du groupe de Lie G=ℝⁿ ⋊A ℝ par le réseau Γ=ℤⁿ ⋊Aℤ avec A ∈SL(n,ℤ) hyperbolique à valeurs propres réelles positives et X l'élément de l'algèbre de Lie Ģ de G qui induit le flot d'Anosov ℱ sur TAⁿ⁺¹,on donne explicitement les solutions des deux équations en question ainsi que d'autres invariants géométriques qui leur sont associés notamment la cohomologie feuilletée de ℱ et les distrbutions A-invariantes

In this thesis : 1- We compute the leafwise cohomology of a complete Riemannian Diophantine flow. 2- We solve explicitly the discrete cohomological equation for the Anosov diffeomorphism on the torus Tⁿ defined by a matrix A ∈SL(n,ℤ) which is hyperbolic and diagonalizable with all its eigenvalues real positive numbers. We use this to solve the continuous cohomological equation of the Anosov flow ℱ on the hyperbolic torus TAⁿ⁺¹ obtained from A by suspension. This enables us to compute some other geometrical objects associated to the diffeomorphism A and the foliation ℱ like the invariant distributions and the leafwise cohomology