Etude spectrale d'un opérateur de schrödinger périodique avec champ magnétique fort en dimension deux
par Andréi Alex Eckstein
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Alain Grigis.
Soutenue en 2006
à Paris 13 .
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Résumé
Le spectre de l’opérateur de Schrödinger avec champ magnétique for et potentiel électrique périodique V en dimension deux est contenu dans une réunion de petits intervalles centrés sur les niveaux de Landau. En utilisant la méthode de convergence de Kolmogorov, on construit un opérateur unitaire tel que la conjugaison par cet opérateur réduit l’étude du spectre de l’opérateur de Schrödinger dans chacun de ces intervalles à l’étude du spectre d’un opérateur pseudodifférentiel en dimension un. Le symbole principal de cet opérateur est V. Dans la suite on impose des hypothèses supplémentaires sur V et on cherche la partie du spectre qui est contenue dans un intervalle [E ,E ] pour lequel les courbes de niveau de V, V ({E}), sont des réunions infinies de courbes fermées, homotopes à des cercles. Pour cette situation, dans une suite de travaux, Helffer et Sjöstrand ont étudié le spectre en tant qu’ensemble. En adaptant leurs méthodes, on montre que le spectre de cet opérateur pseudodifférentiel est inclus dans une réunion de petits intervalles et que la partie du spectre contenue dans chaque intervalle s’obtient en étudiant la matrice d’interaction. L’étude de la matrice d’interaction mène à un opérateur pseudodifférentiel qui s’écrit comme l’intégrale directe d’une famille d’opérateurs sur l²(Z). Cette famille est ergodique et les opérateurs ont du spectre purement ponctuel. Ceci constitue une étape importante pour connaître la nature d’une partie du spectre de l’opérateur de Schrödinger périodique avec champ magnétique fort en dimension deux.
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Titre traduit
Spectral study of a periodic Schrödinger operator with strong magnetic field in dimension two
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