Étude de quelques EDP non linéaires sans compacité

par Habib Yazidi

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Rejeb Hadiji.

Soutenue en 2006

à Paris 12 .

mots clés

• Non-linéarité
• Exposant critique de Sobolev
• Principe de concentration-compacité
• Principe variationnel d'Ekeland
• Équations aux dérivées partielles

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires de type Dirichlet ou Neumann sur un domaine borné régulier, qui sont à structure variationnelle, et qui présentent un défaut de compacité. Dans la première partie, nous étudions une EDP homogène avec un opérateur non linéaire faisant intervenir un poids strictement positif, une non-linéarité critique au sens de Sobolev et un paramètre λ. Nous établissons des résultats d'existence et de non-existence de solutions qui dépendent du comportement du poids au voisinage de ses minima, de paramètres λ et de la géométrie du domaine. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à des EDP non homogènes avec poids et avec une non-linéarité critique au bord au sens de l'inclusion de trace. Nous montrons des résultats d'existence qui dépendent des différents coefficients des EDP étudiées et de la courbure moyenne en un point minimum de poids.

Titre traduit

Study of some nonlinear PDE with lack of compactness

Résumé

This thesis is devoted to the study of some nonlinear partial differential equations of Dirichelet or Neumann type, with a non compact variational structure. In the first part, we study homogeneous PDE with a positive weight, with the critical Sobolev exponent and a parameter λ. We establish some existence and non-existence results which depend on the behavior of the weight near its minima, the parameter λ and the geometry of the domain. In the second part, we are interseted by some non-homogeneous PDE with weight and with a critical nonlinearity on the boundary. We show some existence results which depend on the various coefficients of the studied PDE, and of the mean curvature of the boundary of the domain.