Géométrie hyperbolique effective et triangulations idéales canoniques en dimension 3

par François Guéritaud

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Frédéric Paulin.

Soutenue en 2006

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Volume hyperbolique
• Laminations de plissage
• Entrelacs arborescents
• Groupes quasi-fuchsiens
• Tore percé

Résumé

Nous etudions certaines decompositions de m en polyedres ideaux, ou m est une variete hyperbolique a pointe(s), de dimension 3. Par un theoreme d’epstein et penner, il existe une telle decomposition, dite ``de delaunay’’, canonique en un sens geometrique. Au chapitre 1 nous trouvons la decomposition de delaunay quand m fibre sur le cercle avec pour fibre un tore perce. La methode consiste a ``deviner’’ la combinatoire de la decomposition, puis a trouver des angles diedres positifs pour ses polyedres combinatoires : un theoreme de rivin dit que tout point critique de la fonctionnelle volume dans l’espace de deformation des angles diedres fournit la metrique hyperbolique. Les inegalites etablies pour montrer l’existence d’un tel point critique permettent alors de verifier que la decomposition est bien de delaunay. Au chapitre 2 nous etendons la methode a certains complementaires d’entrelcas (entrelacs a 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l’etendons aux cœurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore perce (la decomposition est alors infinie, et certaines pieces ne sont pas des polyedres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du theoreme des laminations de plissage pour le tore perce. Au chapitre 4, nous etendons partiellement la methode aux complementaires d’entrelacs arborescents : sans trouver de point critique, nous caracterisons les entrelacs arborescents hyperboliques. Au chapitre 5, qui eclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynomes de laurent, qui generalisent les nombres de markoff, n’ont que des coefficients positifs.

Titre traduit

Effective hyperbolic geometry and canonical ideal triangulations in dimension three

Résumé

We study certain decompositions of m into ideal polyhedra, where m is a cusped hyperbolic 3-manifold. A result of epstein and penner states that such a decomposition exists : in particular, the so-called delaunay decomposition, which is canonical in a geometric sense. In chapter 1, we find the delaunay decomposition for m a punctured-torus bundle over the circle. The method is to ``guess’’ the combinatorics of the decomposition, then find positive dihedral angles for its combinatorial polyhedra : by a theorem of rivin, any critical point of the volume functional in the deformation space of dihedral angles gives the hyperbolic metric. The inequalities involved in showing that such a critical point exists also imply that the decomposition is indeed delaunay. In chapter 2, we extend the method to certain link complements (notably, 2-bridge links). In chapter 3 we extend it to convex cores of quasifuchsian punctured-torus groups (here the decomposition is infinite, and has some non-polyhedral pieces). As a corollary, we re-prove the pleating lamination theorem for punctured-torus groups. In chapter 4, we partially extend the method to arborescent link complements : without finding critical points, we characterize hyperbolic arborescent links. In chapter 5, extending a proposition of chapter 3, we show that certain laurent polynomials, which generalize the markoff numbers, have only positive coefficients.