Quelques contributions à la finance et à la gestion mathématiques

par Fabian Astic

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Nizar Touzi.

Soutenue en 2006

à Paris 9 .

mots clés

• Finances -- Modèles mathématiques
• Solutions de viscosité

Résumé

Dans une première partie, nous généralisons des résultats de la théorie de l’arbitrage au cas d’échanges non-linéaires. Nous montrons l’équivalence entre deux notions d’absence d’arbitrage et l'existence de systèmes de prix consistants, et nous considérons le problème de sur-réplication. La deuxième partie présente deux principes de randes déviations conditionnels originaux, issus de problèmes financiers. Nous donnons une approximation, de type grandes déviations, de la loi d’un couple de processus non-observables conditionnellement à une fonction observée. Nous montrons aussi un principe de grandes déviations conditionnel pour la loi de la solution d'une EDSR dépendant du couple. Dans la troisième partie, nous étudions le cas d'un producteur d'énergie hydroélectrique faisant face à deux sources d'aléas : précipitations et prix. Nous montrons que la fonction valeur du problème de contrôle optimal correspondant est l’unique solution de viscosité contrainte d’une EDP non-linéaire

Titre traduit

A few contributions to mathematical finance and management

Résumé

In a first part, we generalize some results of arbitrage theory for markets where exchanges are non-linear. We show the equivalence of two notions of no-arbitrage and the existence of consistent price systems. We apply these results to the super-replication problem. The second part presents two new large deviation principles motivated by athematical finance. We give a large deviation approximation of the law of an unobservable couple of stochastice processes given an observable function. We also prove a conditional large deviation principle for the law of the solution of a BSDE that depends on the couple. In the third part, we study the case of a hydropower producer facing two random sources: rain precipitations and prices. We show that the value function of the associated optimal control problem