Théorie de Ramsey structurale des espaces métriques et dynamique topologique des groupes d'isométries

par Lionel Nguyen Van The

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Stevo Todorčević.

Soutenue en 2006

à Paris 7 .

mots clés

• Ramsey, Théorie de
• Espaces métriques
• Topologie de l'espace métrique

Résumé

L'objectif de cette these est d'etudier les differentes interactions entre la geometrie des espaces metriques complets separables ultrahomogenes, la theorie de ramsey structurale des espaces metriques finis et la theorie des groupes topologiques et de leurs actions continues sur les espaces compacts. Le premier chapitre est consacre a la description de plusieurs classes d'espaces metriques caracterisee par l'existence d'un objet canonique particulierement remarquable appele 'espace d'urysohn1. Le second chapitre concerne l'etude de plusieurs proprietes combinatoires (appelees 'propriete de ramsey' et 'propriete d'ordre') des classes du premier chapitre. Les implications de ces proprietes au niveau des espaces d'urysohn et de leur groupe d'isometries sont alors presentees. En particulier, une theorie generale et recente due a kechris, pestov et todorcevic est utilisee pour determiner un invarian1 dynamique, a savoir le flot minimal universel, dans le cas de plusieurs groupes de transformations, enfin, le troisieme chapitre est consacre a l'etude d'un phenomene lie aux espaces d'urysohn appele 'indivisibilite'. En particulier, le cas ultrametrique est completement resolu et une reformulation combinatoire d'un probleme ouvert analogue au probleme de la distortion pour l'espace de hilbert separable est etablie dans le contexte de l'espace d'urysohn universel.

Titre traduit

Structural Ramsey theory of metric spaces and topological dynamics of isometry groups

Pas de résumé disponible.

Résumé

THE PURPOSE OF THIS THESIS IS TO INVESTIGATE THE INTERACTIONS BETWEEN THE GEOMETRY OF COMPLETE SEPARABLE ULTRAHOMOGENEOUS METRIC SPACES, THE STRUCTURAL RAMSEY THEORY OF FINITE METRIC SPACES AND THE THEORY Ol TOPOLOGICAL GROUPS TOGETHER WITH THEIR CONTINUOUS ACTIONS ON COMPACT SPACES. THE FIRST CHAPTER IS DEVOTED TO THE DESCRIPTION OF SEVERAL CLASSES OF FINITE METRIC SPACES CHARACTERIZED BY THE EXISTENCE OF A REMARKABLE CANONICAL OBJECT CALLED 'URYSOHN SPACE1. THE SECOND CHAPTER IS DEVOTED TO THE STUDY OF SEVERAL COMBINATOR1AL PROPERTIES (CALLED RAMSEY PROPERTY AND ORDERING PROPERTY) OFTHE CLASSES PRESENTED IN THE FIRST CHAPTER. THE IMPLICATIONS OFTHOSE PROPERTIES AT THE LEVEL OF THE URYSOHN SPACES AND THEIR ISOMETRY GROUP ARE THEN PRESENTED. IN PARTICULAR A GENERAL AND RECENT THEORY DUE TO KECHRIS, PESTOV AND TODORCEVIC IS USED TO COMPUTE A DYNAMICAL INVARIANT, NAMELY THE UNIVERSAL MINIMAL FLOW, ATTACHED TO SEVERAL TRANSFORMATION GROUPS. FINALLY, THE THIRD CHAPTER IS DEVOTED TO THE STUDY OF THE SO CALLED INDIVISIBILITY PROPERTIES OF THE URYSOHN SPACES. IN PARTICULAR, THE ULTRAMETRIC CASE IS COMPLETELY SOLVED AND A COMBINATORIAL REFORMULATION OF AN ANALOG OF THE DISTORTION PROBLEM FOR THE SEPARABLE HILBERT SPACE IS OBTAINED IN THE OPEN CONTEXT OF THE UNIVERSAL URYSOHN SPACE.