Analyse en composantes indépendantes par ondelettes

par Pascal Barbedor

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Dominique Picard.

Soutenue en 2006

à Paris 7 .

mots clés

• Analyse en composantes indépendantes
• Ondelettes

Résumé

L'analyse en composantes indépendantes (ACI) est une forme d'analyse multivariée qui a émergé en tant que concept dans les années 1980-90. C'est un type de problème inverse où on observe une variable X dont les composantes sont les mélanges linéaires d'une variable S inobservable. Les composantes de S sont mutuellement indépendantes. La relation entre les deux variables s'exprime par X=AS, où A est une matrice de mixage inconnue. Le problème principal de l'ACI est d'estimer la matrice A, à partir de l'observation d'un échantillon i. I. D. De X, pour atteindre S qui constitue un système explicatif meilleur que X dans l'étude d'un phénomène particulier. Le problème se résout généralement par la minimisation d'un certain critère, issu d'une mesure de dépendance. L'approche qui est proposée dans cette thèse est du type non paramétrique. Sous des hypothèses de type Besov, on étudie plusieurs estimateurs d'un critère de dépendance exact donné par la norme L2 de la différence entre une densité et le produit de ses marges. Ce critère constitue une alternative à l'information mutuelle qui représentait jusqu'ici le critère exact de référence de la plupart des méthodes ACI. On donne une majoration de l'erreur en moyenne quadratique de différents estimateurs du contraste L2. Cette majoration prend en compte le biais d'approximation entre le Besov et l'espace de projection qui, ici, est issu d'une analyse multirésolution (AMR) générée par le produit tensoriel d'ondelettes de Daubechies. Ce type de majoration avec prise en compte du biais d'approximation est en général absent des méthodes non paramétriques récentes en AGI (méthodes kernel, information mutuelle).

Titre traduit

Independent component analysis by wavelets

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Résumé

Independent component analysis (ICA) is a form of multivariate analysis that emerged as a concept in the eighties/nineties. It is a type of inverse problem where one observes a variable X whose components are linear mixtures of an unobservable variable S. The components of S are mutually independent. The relation between both variables is expressed by X=AS, where A is an unknown mixing matrix. The main problem in ICA is to estimate the matrix A, seeing an i. I. D. Sample of X, to reach S which constitutes a better explicative System than X, in the study of some phenomena. The problem is generally resolved through the minimization of a criteria coming from some dependence measure. The approach which is proposed in this thesis adopts a non parametric point of view. Under Besov assumptions, we study several estimators of an exact dependence criteria given by thé L2 norm between a density and the product of its marginals. This criteria constitutes an alternative to mutual information which represented so far the exact criteria of reference for the majority of ICA methods. We give an upper bound of the mean squared error of different estimators of the L2 contrast. This bound takes into account the approximation bias between the Besov space and the projection space which, here, stems from a multiresolution analysis (MRA) generated by the tensorial product of Daubechies wavelets. This type of bound, taking into account the approximation bias, is generally absent from recent non parametric methods in ICA (kernel methods, mutual information).