Reconstruction et régularisation en tomographie par une méthode de Fourier basée sur la variation totale

par Xiaoqun Zhang

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Jacques Froment.

Soutenue en 2006

à Lorient .

mots clés

• Sous gradient avec projection
• Interpolation et extrapolation
• Variation totale sous contrainite
• Scanographie
• Reconstruction d'image
• Fourier, Analyse de

Résumé

La tomographie par rayons X consiste à inverser une transformée de Radon avec des données partielles dans l'espace de Fourier, ce qui classe cette technique d'imagerie dans la catégorie des problèmes inverses mal posés. La résolution du problème nécessite (explicitement ou implicitement) l'interpolation et l'extrapolation des données fréquentielles d'une grille polaire à une grille cartésienne. Notre approche introduit la semi-norme de la variation totale afin de minimiser les dégradations et de reconstruire une image régulière par morceaux, visuellement proche des jeux de données synthétiques utilisés par les radiologues. Nous proposons un schéma d'optimisation sous une contrainte formulée dans l'espace de Fourier, dont les avantages sont une modélisation précise des données et une faible complexité de calcul. La principale difficulté reste la définition de la contrainte fréquentielle, qui doit réaliser un compromis entre une bonne attache aux données et la possibilité de suffisamment diminuer la variation totale afin de débruiter l'image. Nous étudions trois contraintes, la première basée sur les extrema locaux des coefficients sur la grille polaire, la deuxième sur une estimation de la régularité Lipschitz locale et la troisième sur une régression locale avec seuillage non-linéaire. Le modèle proposé et les algorithmes associés sont validés par de nombreuses expériences sur des données réalistes, simulées à partir du fantôme de référence Shepp-Logan sous diverses conditions de bruit. Les résultats numériques montrent une amélioration qualitative considérable des images reconstruites par le modèle par rapport à l'algorithme de référence (rétro-projection filtrée) avec la disparition quasi-totale du bruit et des artefacts. Le rapport signal à bruit gagne entre 1 à 6 db suivant le type de données et de contrainte. Enfin, les algorithmes proposés sont plus rapides que ceux du standard actuel d'environ un facteur trois.

Titre traduit

Tomographic reconstruction and regularization using a Fourier method based on total variation

Résumé

X-ray tomography consists in inversing a Radon transform from partial data in the Fourier space, leading this imaging process to belong to the family of ill-posed inverse problems. Solving this problem needs (explicitly or implicitly) frequency data interpolation and extrapolation from a polar grid to a Cartesian one. Our approach introduces the total variation seminorm in order to minimize the artifacts and to reconstruct a piecewise smooth image, visually close to the synthetic data set used by radiologists. We propose an optimisation scheme under a constraint given in the Fourier space for which the advantages are a precise data modelling and a low computational cost. The main difficulty remains the formulation of the frequency constraint, which must balance between a good data fit and the liberty of reducing the total variation enough so that the image can be denoised. We study three constraints, the first one being based on local extrema over the polar grid, the second on an estimator of the local Lipschitz regularity and the third on local regression with nonlinear thresholding. The proposed model and the associated algorithms are valided by numerous experiments on realistic data, simulated from the Shepp-Logan phantom using different types of noise. Numerical results show a significant qualitative enhancement of reconstructed images using our model compared to the standard algorithm (filtered backprojection), with the suppression of almost all noise and artefacts. The signal to noise ratio increases by 1 up to 6 db depending on the type of data and the constraint. At last, the proposed algorithms are faster than the standard one by more or less a factor of three