Étude algorithmique et théorique de quelques méthodes de type Lanczos

par Abdellatif Tinzefte

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Claude Brezinski et de Hassane Sadok.

Soutenue en 2006

à Lille 1 .

mots clés

• Krylov, Sous-espaces de
• Lanczos, Méthode de
• Rupture, Problème de (analyse numérique)
• Dépassement de capacité
• Instabilité numérique
• Préconditionneur
• Systèmes linéaires -- Solutions numériques
• Polynômes orthogonaux
• Itération (mathématiques)
• Gradient conjugué, Méthode du
• Approximation numérique

Résumé

La méthode de Lanczos est l'une des méthodes itératives les plus utilisées pour la résolution des systèmes linéaires. Les polynômes orthogonaux formels permettent la mise en oeuvre des différentes méthodes de type-Lanczos. Cependant des divisions par zéro ("breakdown") peuvent être rencontrées dans le calcul de ces polynômes par des relations de récurrence. Dans la première partie de cette thèse, nous avons effectué une étude détaillée de ce phénomène, le rapport entre les différentes situations de breakdown a été établi. Cela nous a permis, d'une part, de donner une nouvelle implantation du processus de Lanczos par des récurrences à deux termes, d'autre part, d'appliquer le look-ahead à la méthode du Gradient Biconjugué. Les polynômes orthogonaux formels sont ensuite utilisés pour introduire le préconditionneur dans quelques méthodes de type-Lanczos qui utilisent le look-ahead. Ensuite, nous nous sommes particulièrement intéressés à l'algorithme MRZ-stab. Une normalisation de ses vecteurs de direction nous a permis la mise en oeuvre d'un algorithme qui évite les situations de dépassement de capacité qui sont très fréquents dans l'algorithme MRZstab. Une adaptation de l'algorithme obtenu au cas symétrique non-défini positif est proposée. A la fin de cette thèse, pour la résolution des systèmes linéaires avec plusieurs seconds membres, nous avons Proposé une nouvelle approche basée sur une projection oblique par rapport aux Sous-espaces de Krylov matriciels qui nous a permis de développer le processus de Lanczos global, ainsi que les méthodes de type-Lanczos globales. Enfin, nous avons proposé des versions avec look-ahead de certaines méthodes de type-Lanczos globales.

Titre traduit

Algorithmic and theoretical study of some Lanczos type methods

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