Homogénéisation en milieu aléatoire
par Rémi Rhodes
Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées
Sous la direction de Etienne Pardoux.
Soutenue en 2006
à Aix-Marseille 1 .
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Résumé
Les travaux exposés dans cette thèse traitent, d’une façon générale, d’homogénisation en milieu aléatoire à l’aide d’outils stochastiques. Dans un premier temps, la propriété d’homogénéisation est prouvée pour des équations paraboliques linéaires du second ordre avec un opérateur sous forme divergence. Les coefficients sont des champs stationnaires dépendant du temps et de l’espace. Divers cas de figure sont envisagés selon les différentes échelles de temps et d’espace possibles. Des possibilités de dégénérescence pour la matrice de diffusion sont également envisagées. Dans un deuxième temps, la propriété d’homogénéisation est établie pour des équations paraboliques semi-linéaires du second ordre avec un opérateur sous forme divergence. Cette fois, les coefficients sont des champs localement stationnaires et ergodiques. Le modèle n’est donc plus invariant par translation. Comme précédemment, aucune restriction autre que l’ergodicité n’est exigée pour la matrice de diffusion.
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Titre traduit
Homogenization in random media
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Résumé
Generally speaking, works exposed in this thesis deal with homogenization in random media by means of stochastic tools. On the first hand, the homogenization property is proved for second order parabolic linear equations under divergence form with time/space dependent stationary coefficients. We further take into account different time/space scalings. We point out that we deal with possible degeneracies of the diffusion matrix. On the other hand, we establish the homogenization property for second order parabolic linear equations under divergence form with locally ergodic coefficients. This work is thus distinguished from classical translation invariant models. As previously, the diffusion matrix is allowed to be degenerate.
