Actions des groupes de Galois différentiels sur les espaces de valuations

par Guillaume Duval

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Pierre Ramis.

Soutenue en 2005

à Toulouse 3 .

mots clés

• Théorie de Galois différentielle
• Théorie des valuations
• Corps de Hardy
• Champ de valeurs
• Galois, Théorie de
• Hardy, Corps de
• Équations différentielles linéaires
• Valuations, Théorie des

Résumé

Cette thèse traite de l'usage que l'on peur faire des valuations en théorie de Galois différentielle. Nous nous intéressons aux valuations invariantes sous l'action de groupes de Galois différentiels afin de répondre à la question générale suivante : deux fonctions équivalentes algébriquement ont-elles des comportements analytiques communs ? Peut-on décrire ces comportements ? Ici, l'équivalence algébrique signifie que les fonctions satisfassent les mêmes équations différentielles ou plus précisément qu'elles sont conjuguées sous l'action d'un groupe de Galois différentiel. Quant aux comportements analytiques, ils peuvent être appréhendés par la théorie de valuations.

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Résumé

This thesis is about differential Galois theory and valuation theory. We are interested in valuations which are invariant under the action of some differential Galois group. This is a way to answer the following general question: If two functions are algebraically equivalent, do they have any common analytical behaviour ? Can we describe these behaviour ? Here, the algebraic equivalence means that the two functions satisfy the same differential equations, (i. E they are conjugated under the action of some differential Galois group. On the other side, the analytical behaviour, can be apprehended by the theory of valuations.