Théorie de la preuve des catégories monoïdales symétriques fermées : cohérence et équivalences de dérivations

par Laurent Méhats

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Sergei Soloviev.

Soutenue en 2005

à Toulouse 3 .

mots clés

• Théorie des catégories
• Cohérence
• Théorie de la preuve
• Logique linéaire
• Category theory
• Coherence
• Proof theory
• Linear logic
• Théorie de la démonstration
• Catégories (mathématiques)

Résumé

Cette thèse étudie la cohérence c. -à-d. L'égalité de morphismes canoniques dans les catégories monoïdales symétriques fermée (smcc) libres et non libres, via la théorie de la preuve de la logique linéaire multiplicative intuitionniste (imll) avec unité. L'étude de la cohérence dans les modèles non libres est réduite à l'étude d'équivalences de termes de la catégorie libre, plus fortes que l'équivalence induite par la structure de smcc libre. La catégorie libre est reformulée comme le système de séquents d'imll avec unité, de sorte que seules les équivalences de dérivations de ce système sont à considérer. Nous établissons que deux dérivations sans coupure sont équivalentes relativement à la structure de smcc libre si et seulement si elles sont inter-permutables, et que toute équivalence plus forte est axiomatisée par un ensemble de paires critiques de dérivations. Nous en déduisons l'incomplétude de Post du système d'égalités des smcc et des conditions suffisantes de pleine cohérence.

Titre traduit

Proof theory for symmetric monoidal closed categories : coherence and equivalences of derivations

Résumé

This PhD thesis studies coherence, that is the equality of canonical morphisms in free and non free symmetric monoidal closed categories (smcc), using proof theory for intuitionistic multiplicative linear logic (imll) with unit. The study of coherence in non free models is reduced to the study of equivalences of terms of the free category, which are stronger than the equivalence induced by the free smcc structure. The free category is reformulated as the sequent calculus for imll with unit, so that only the equivalences of derivations in this system are to be considered. We establish that two cut-free derivations are equivalent w. R. T. The free smcc structure if and only if they are inter-permutable, and that any stronger equivalence is axiomatized by a set of critical pairs of derivations. From this, we deduce that the system of equalities for smcc is not Post-complete and we also deduce certain sufficient conditions for full coherence.