Modélisation mathématique et numérique de la propagation d'ondes dans les milieux viscoélastiques et poroélastiques

Mathematical and numerical modeling of wave propagation in viscoelastic and poroelastic media

• Auteur / Autrice : Abdelaaziz Ezziani
• Direction : Eliane Bécache, Patrick Joly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Viscoélasticité

Modèles mathématiques

Ondes -- Propagation

Résumé

Nous nous intéressons à la modélisation de la propagation d'ondes dans le sous sol. Nous présentons deux modèles de propagation : (i) une généralisation du modèle de Zener pour les milieux viscoélastiques, (ii) le modèle de Biot pour les milieux poroélastiques. Nous menons une analyse mathématique complète de ces modèles : résultat d'existence, d'unicité et de décroissance de l'énergie. Pour la résolution numérique nous construisons une méthode spécifique à chaque modèle, basée sur des approches variationnelles, une approximation par éléments finis mixtes en espace et différences finies en temps. Nous montrons pour chaque schéma, un résultat de décroissance d'énergie discrète qui conduit à une condition suffisante de stabilité. Pour simuler la propagation d'ondes dans les milieux ouverts, nous adaptons la technique de couches absorbantes parfaitement adaptées aux ondes viscoélastiques et poroélastiques. Enfin, nous présentons des validations numériques des méthodes développées.

We are interested in the mathematical and numerical modeling of wave propagation in underground media. We present two propagation model: (i) a generalization of Zener's model for viscoelastic media, (ii) Biot's model for poroelastic media. For each model we achieve a mathematical analysis, In particular, an existence and uniqueness of solution and an energy decay result. For the numerical resolution we construct a method specific to each model, based on a variational approach, a mixed finite elements approximation in space and a finite difference in time. We prove for each scheme obtained, a result of discrete energy decay which provides a sufficient stability condition. To simulate the waves propagation in unbounded domains, we adapt the perfectly matched layers techniques to viscoelastic and poroelastic waves. Finally, we present various numerical validations of the developed methods.