Définition et applications des extensions des fonctions réelles aux intervalles généralisés : révision de la théorie des intervalles aux intervalles généralisés

par Alexandre Goldsztejn

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Michel Rueher.

Soutenue en 2005

à Nice , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) .

mots clés

• Calcul sur des intervalles

Résumé

La théorie des intervalles permet de construire des sur-ensemble du domaine de variation d’une fonction réelle. Ainsi, de manière très naturelle, elle permet de construire une approximation extérieure de l’ensemble des solutions d’un système d’équations. Couplée aux théorèmes usuels d’existence (par exemple les théorèmes de Brouwer ou de Miranda) la théorie des intervalles permet aussi de prouver rigoureusement l’existence de solutions pour un système d’équations. La théorie des intervalles modaux permet de prouver directement l’existence de solution d’un système d’équations (sans faire intervenir explicitement les théorèmes d’existence). Malgré les récents développements qui ont montré le potentiel applicatif de la théorie des intervalles modaux, l’utilisation de cette théorie reste fort limitée. D’une part, une nouvelle formulation des principaux résultats de la théorie des intervalles modaux est proposée. Cette nouvelle formulation est faite dans le cadre des intervalles généralisés (intervalles dont les bornes ne sont pas contraintes à être ordonnées) et reprend la construction de la théorie des intervalles classiques, ce qui permettra une utilisation plus aisée de la théorie des intervalles modaux. D’autre part, un protocole de préconditionnement et un protocole de linéarisation compatibles avec les interprétations des nouvelles extensions aux intervalles généralisés sont proposés. Le protocole de linéarisation proposé aura la forme d’une nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés.

Titre traduit

Definition and applications of extensions of real functions to generalized intervals : modal intervals revisited

Résumé

The intervals theory allows constructing supersets of the range of real functions. Therefore, in a very natural way it allows constructing some outer approximation of the solution set of systems of real equations. When it is used in conjunction to some usual existence theorems (e. G. Brouwer or Miranda theorems), the intervals theory also allows to rigorously prove the existence of solutions to such systems of equations. The modal intervals theory proposed some richer interpretations. In particular, the construction of both subjects and supersets of the range of real functions are in the scope of extensions to modal intervals. As a consequence, the extensions of real functions to modal intervals have the intrinsic power of proving the existence of solutions to systems of equations. In spite of some recent developments that have shown the promising potential applications of these richer interpretations, the modal intervals theory remains unused by most of the interval community. On one hand, a new formulation of the modal intervals theory is proposed. This new formulation uses only generalized intervals (intervals whose bounds are not constrained to be ordered) and follows the construction of the classical intervals theory. This will allow using the modal intervals theory in an easier way. On the other hand, some new preconditioning and linearization processes are proposed which are compatible with the richer interpretations provided by the modal interval theory. The new linearization process which is proposed will have the form of a new mean-value extension to generalized intervals.