Méthodes variationnelles en traitement d'image

par Ali Haddad

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Yves Meyer.

Soutenue en 2005

à Cachan, Ecole normale supérieure .

mots clés

• Traitement d'images
• Fonctions à variation bornée
• Besov, Espaces de
• Ondelettes

Résumé

L'objet de cette thèse est d'étudier les propriétés mathématiques de quelques modèles utilisés entraitement d'image. Suivant S. J. Osher, L. Rudin et E. Fameti, nous décomposons une image f de L² en une somme u+v où u appartient à un espace de Banach fonctionnel E et v appartient à L². L'espace E doit modéliser les objets contenus dans l'image et la décomposition optimale minimise l'énergie J(u)=||u||_E+\lambda||f-u||^2_2. La difficulté majeure est de choisir un espace E adapté. Les choix classiques sont E=\dot{B}^{1,1}_1(\R^2), qui conduit au célèbre "wavelet thresholding" de Donoho, ou E=BV(\R^2), l'espace des fonctions à variations bornées. Le dernier choix définit l'algorithme d'Osher-Rudin-Fatemi. Ces deux choix ont des défauts. Le premier efface les bords nets. Le second ne conduit pas à un seuillage des coefficients d'ondelettes. Nous proposons alors de prendre E=\B1inf(\R^2), qui conserve les bords nets et conduit à un seuillage des coefficients d'ondelette. Ce sont les deux premières parties de la thèse. Dans la troisième partie, nous étudions les propriétés mathématiques de l'algorithme 'Osher-Vese qui traite mieux les composantes texturées.

Titre traduit

Variational methods in image processing

Résumé

The purpose of this thesis is to investigate the mathematical properties of some models which are currently used in image processing. Generalizing an approach by S. J. Osher, L. Rudin and E. Fameti, we decompose an image f of L² as a sum u+v where u belongs to somme functional Banach space E while v belongs to L². The Banach space is aimed at modeling the objects contained in the given image and the optimal decomposition minimizeq the energy J(u)=||u||_E+\lambda||f-u||^2_2. The main difficulty is to choose an adapted Banach space E. The common choice are E=\dot{B}^{1,1}_1(\R^2) which leads to the well-known Donoho's wavelet thresholding or E=BV(\R^2) the space of functions of bounded variations. The latter choice is the Osher Rudin Fatemi algorithm. These two choices are suffering from severe drawbacks. In the first case, sharp edges are erased. The second choicedoes not lead to a wavelet thresholding. That is why we propose E=\B1inf(\R^2) which yields sharp edges and is given by wavelet thresholding. This is the two first parts of the thesis. In the third part, we investigate the mathematical properties of the Osher-Vese newest algorithm which keeps track if the textured components.