Structures o-minimales, corps de Hardy et ensembles de petite arité
par Serge Randriambololona
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Krzysztof Kurdyka.
Soutenue en 2005
à Chambéry .
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Résumé
Apparue au début des années 80 à la frontière entre la géométrie réelle et la théorie des modèles, la théorie des structures o-minimales est, sans aucun doute, la réalisation la plus avancée du programme de géométrie modérée proposé par GROTHENDIECK dans son Esquisse d'un Programme. Depuis, l'activité des spécialistes des structures o-minimales se divise principalement en deux : obtenir des résultats généraux valables dans toutes les structures o-minimales d'une part, établir la o-minimalité de certaines structures géométriques et construire de nouveaux exemples de structures o-minimales d'autre part. C'est dans le cadre de cette seconde problématique que se situe ce travail : pour construire une nouvelle structure o-minimale, est-il nécessaire de construire de nouvelles fonctions d'une seule variable; plus précisément, deux structures o-minimales peuvent-elles définir les mêmes ensembles d'arité deux sans pour autant définir les mêmes ensembles en toute arité. Dans cette thèse, nous donnons une réponse positive à cette question. Mieux, dans sa seconde partie, nous prouvons que la structure des ensembles sous-analytiques globaux ℝan et la structure ℝan(n) des ensembles sous-analytiques globaux définis à l'aide des fonctions analytiques restreintes de n variables définissent les mêmes ensembles d'arité n + 1 mais que la première définit strictement plus d'ensembles que la seconde en arité n + 2. Dans la première partie, nous décrivons les structures o-minimales C∞-lisses qui définissent, en arité deux, tous les sous-ensembles de ℝ2 semi-algébriques et eux seuls. Nous prouvons qu'il y a exactement deux telles structures: la structure engendrée par les courbes semi-algébriques et la structure de tous les ensembles semi-algébriques.
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