Conjecture de Greenberg généralisée et capitulation dans les Zp-extensions d'un corps de nombres

Greenberg's generalized conjecture and capitulation in the Zp-extensions of a number field

• Auteur / Autrice : David Vauclair
• Direction : Thong Nguyen Quand Do
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Besançon
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

K-théorie

Cohomologie galoisienne

Résumé

Le cadre général de cette thèse est celui de la théorie d'Iwasawa. Nous nous intéressons plus particulièrement à la conjecture de Greenberg généralisée (multiple) (GG). Après avoir relié celle-ci à différents problèmes de capitulation pour certains groupes de cohomologie p-adiques en degré 2, nous proposons une version faible (GGf) de (GG) dont nous montrons la validité, pour tout corps de nombres F contenant une racine primitive p-ième de l'unité et un corps quadratique imaginaire dans lequel (p) se décompose, du moment que F vérifie la conjecture de Leopoldt. Les outils développés permettent de retrouver et de généraliser (notamment dans des Zp-extensions autre que la Zp-extension cyclotomique) un certain nombre de résultats classiques en théorie d'Iwasawa.

The subject of this thesis is Iwasawa theory. We take a particular interest in Greenberg's generalized (multiple) conjecture (GG). After establishing a precise link with several problems of capitulation for certain p-adic cohomology groups in degree 2, we propose a weakened version (GGf) of (GG). We show that (GGf) is true under certain conditions, namely that the ground field F, contains a primitive p-th root of unity, a (p)-split imaginary quadratic field, and verifies Leopoldt's conjecture. The techniques of this work also allow us to retrieve and generalize (especially in non-cyclotomic Zp-extensions) a number of classical results in Iwasawa theory.