Vitesse de convergence de l'itération du point fixe de Banach pour des problèmes semilinéaires elliptiques dans des domaines ayant une singularité conique

par Joseph François Hagbé

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Felix Ali Mehmeti.

Soutenue en 2004

à Valenciennes .

mots clés

• Sobolev, Espaces de
• Bessel, Fonctions de
• Coniques
• Algèbres de Banach

Résumé

Nous déterminons la vitesse de convergence de l'itération du point fixe de Banach appliquée à des problèmes semilinéaires elliptiques sur des domaines ayant une singularité conique à la frontière. Une quantité importante est représentée par la norme de l'injection du domaine de l'opérateur (représentant la partie linéaire du problème) dans une famille d'espaces de Sobolev avec poids qui dépendent d'un exposant donnant une borne pour le comportement asymptotique des éléments proche de la singularité. Dans le cas général, on obtient une constante de Lipschitz (de l'application pour laquelle on cherche un point fixe) qui est proportionnelle à cette norme. On utilise ici les propriétés Lipschitziennes de l'opérateur de Nemytskij sur des espaces de Sobolev avec poids, extrait des travaux de F. Ali Mehmeti et S. Nicaise (Comm. P. D. E. 1997). Dans le cas où le domaine est un secteur d'un cercle, nous donnons un encadrement des bornes de la norme de cette injection. Il en découle le comportement asymtotique lorsque cette norme tend vers l'infini, quand l'angle intérieur du secteur atteint une valeur limite òu le domaine de l'opérateur n'est plus inclus dans l'espace de Sobolev avec poids approprié. On utilise les fonctions de Bessel dans ce cas.

Titre traduit

Convergence speed of the Banach fixed point iteration for semilinear problems on conical domains

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Résumé

We determine the convergence speed of the Banach fixed-point iteration applied to semilinear elliptic boundary value problems on domains with a conical point at the boundary. An important quantity is the norm of the embedding of the natural domain of the linear part of the problem into a family of weighted Sobolev spaces depending on an exponent giving a bound for the asymptotic behavior of the elements near the conical point. For general domains, we obtain a Lipschitz constant for the fixed point application which is proportional to this norm. Here we use the mapping properties of the Nemytskij (composition) operator on weighted Sobolev spaces. In the case of a 2d-sector, we derive estimations from above and below of the norm of this embedding, which imply its asymptotic behaviour when tending to infinity, when the interior angle of the sector approaches a limit value, for which the natural domain is no longer included in the given weighted space. We use Bessel functions.