Thèse soutenue

Contribution à l'étude des attracteurs des systèmes dynamiques en dimension finie
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Auteur / Autrice : Sara Derivière
Direction : Jean-Marie StrelcynMoulay-Ahmed Aziz-Alaoui
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2004
Etablissement(s) : Rouen

Résumé

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Les attracteurs chaotiques des systèmes dynamiques sout presque toujours identifiés grâce à des méthodes numériques. Le but de cette thèse consiste donc à isoler ces objets mathématiques, à localiser analytiquement leur domaine d'existence. Pour cela, nous définissons des régions bornées de l'espace des phases contenant les attracteurs grâce à une extension du principe d'invariance de LaSalle. Ensuite, lorsque cela est possible, nous mettons en évidence des trous au sein des attracteurs. De plus, nous montrons comment les résultats obtenus par ces localisations permettent d'obtenir des résultats sur la synchronisation identique de deux sous-systèmes couplés de façon bidirectionnelle. Plus précisement, on détermine une valeur minimale analytique au paramètre de couplage garantissant la synchronisation des systèmes. Ce travail est effectué dans le cadre des systèmes dynamiques continus (première partie), puis pour une classe de systèmes à second membre discontinu appelés systèmes de Filippov (deuxième partie). Nous appliquons nos résultats sur des exemples concrets, accompagnés par des évidences numériques du caractère chaotique des systèmes. Tous les résultats obtenus sont illustrés numériquement. Enfin, les techniques issues de la théorie de l'indice de Conley et permettant de démontrer rigoureusement (par une preuve assistée par l'ordinateur) le caractère chaotique des systèmes dynamiques sont présentées dans la troisième partie.