Sur la conjecture principale pour les corps CM

par Fabio Mainardi

Thèse de doctorat en Géomètrie arithmètique

Sous la direction de Jacques Tilouine.

Soutenue en 2004

à Paris 13 .

mots clés

• Groupes unitaires
• Eisenstein, Séries d'

Résumé

Nous démontrons un résultat partiel dans la direction de la conjecture principale de la théorie de Iwasawa pour les corps CM. La méthode que nous employons est d'associer au module d'Iwasawa d'un corps CM une série d'Eisenstein pour le groupe unitaire GU (2,1). Le terme constant de cette série est le produit de deux valeurs spéciales de fonctions L de Hecke, l'une sur le corps CM et l'autre sur le sous-corps totalement réel. Nous introduisons un idéal Eis, dans l'algèbre de Iwasawa A en 1+d+ variables, supposé controler les congruences entre la série d'Einsenstein et les formes cuspidales. Nous démontrons ici que Eis divise l'idéal caractèristique du module d'Iwasawa, hors un ensemble de premiers de A de hauteur 1. Une partie de ce travail est consacrée à l'étude arithmètique de la série d'Eisenstein, à son interpolation A-dique et à sa réduction modulo son terme constant. On étudie aussi quelques propriétés des représentatioins galoisiennes associées aux formes automorphes sur GU (2,1).

Titre traduit

On the main conjecture for CM fields

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