Etude haute fréquence de quelques problèmes d'évolution singuliers

par Thomas Duyckaerts

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Nicolas Burq.

Soutenue en 2004

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Equations d'évolution linéaires
• Analyse micro-locale
• Équations aux dérivées partielles
• Équations d'onde
• Schrödinger, Équation de

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’éude haute fréquence de problèmes d'évolution linéaires, par des techniques d'analyse micro-locale. On y étudie deux types d'équations. Dans le premier chapitre, on s'intéresse à la décroissance des solutions d'énergie finie de l'équation linéaire de la magnéto-élasticité, qui modélise le comportement d’un solide élastique tri-dimensionnel (simplement connexe et borné) dans un champ magnétique. On montre d’abord une condition nécessaire et suffisante de stabilisation uniforme, portant sur la géométrie du domaine et l'orientation du champ magnétique. Lorsque cette condition n'est pas vérifiée, on prouve que l'énergie des solutions de données initiales suffisamment régulières décroît polynomialement. La démonstration de ces résultats repose sur l'étude d'inégalités d'observabilité sur le système de Lamé, réalisée par des arguments de propagation de mesures de défaut microlocales pour des solutions de ce système. Les deux chapitres suivants sont consacrés à un opérateur de Laplace P avec potentiel, sur l'espace euclidien, et aux équations de Schrödinger et des ondes associées. On s’intéresse à un potentiel V réel, petit à l’infini, et borné en dehors d’un ensemble fini de pôles, où il prend une valeur infinie. La singularité critique est en inverse quadratique de la distance à un pôle donné. Dans le but d'étendre à plusieurs singularités les travaux réalisés dans le cas unipolaire (qui peut se traiter à l'aide de calculs explicites), on établit dans le deuxième chapitre une inégalité haute fréquence sur la résolvante de P , qui implique notamment l’effet régularisant standard sur l'équation de Schrödinger correspondante. La démonstration repose encore sur l'introduction d'une mesure de défaut, mais dans un cadre semi-classique. Dans le troisième chapitre, on souligne le caractère critique des pôles en inverse quadratique en construisant un exemple de potentiel unipolaire, de l'ordre de l'inverse du carré de la distance au pôle, à un logarithme près, qui nie les inégalités usuelles sur la norme de l'opérateur et les estimations dispersives standard sur les équations d'évolutions correspondantes.

Titre traduit

High frequency study of a few singular evolution problems

Résumé

In this work we study linear partial differential evolution equations from a micro-local point of view. Two types of equations appear. The first chapter is devoted to the decay of solutions of the linear equation of magneto-elasticity, which describes the displacement of a tridimensional, bounded, simply-connected solid in a constant exterior magnetic field. We first give a necessary and sufficient condition of uniform stability for finite energy solutions of the system. The condition involves the geometry of the domain and the direction of the magnetic field. When this condition is not satisfied, we show that solutions with smooth initial data decay at least polynomially. The proofs of the two results are based on the study of observability inequalities on the Lamé system, using propagation arguments on micro-local defect measures for high frequency solutions of the Lamé system. In chapter 2 and 3, we consider a Laplace operator P with a potential in the euclidian space and the related wave and Schrödinger equations. The real potential V, small at infinity, is bounded outside a finite number of poles, where it takes infinite values. The critical singularities are in inverse square of the distance to a given pole. In order to extend previous results on evolution equations for the one-pole operator (easier because some explicit calculations are possible), we show the usual non-trapping high frequency inequality on the resolvent of P. This inequality implies the well known local smoothing effect with gain of one half derivative on the Schrödinger equation. The proof is also based on the use of a micro-local defect measure, but in a semi-classical context. The third chapter emphasizes the critical nature of inverse square singularities. An example of an unipolar potential is given, of the order of an inverse square up to a logarithm correction, for which high frequency inequalities on the resolvent of P fail. Furthermore, some solutions of the corresponding wave and Schrödinger equations are shown to contradict all the standard dispersive estimates that hold for the free equations.