Quelques modèles non linéaires en mécanique quantique

Some nonlinear models in quantum mechanics

• Auteur / Autrice : Mathieu Lewin
• Direction : Eric Séré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polarisation du vide

Modèles non linéaires (statistique)

Théorie quantique

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles non linéaires issus de la mécanique quantique. Dans la première partie, nous démontrons l'existence d'un minimum et d'états excités approchés pour les modèles multi-configurations décrivant la structure électronique des molécules. Ces points critiques peuvent être calculés grâce à un nouvel algorithme. Des résultats numériques sont présentés pour le premier état excité de systèmes à deux électrons. Dans la seconde partie, nous étudions un lemme du col modélisant des réactions chimiques avec le modèle de Schrödinger indépendant du temps. Nous prouvons l'existence d'un point selle, sous l'hypothèse que les molécules à l'infini sont chargées ou polarisées. La dernière partie est consacrée à l'étude de la polarisation du vide grâce au modèle Bogoliubov-Dirac-Fock, une théorie relativiste de champ moyen issue de l'électrodynamique quantique. Nous montrons que l'énergie étudiée possède un minimum qui est le vide polarisé.

This thesis is devoted to the study of three nonlinear models from quantum mechanics. In the first part, we prove the existence of a minimizer and of approximate excited states for the multiconfiguration methods, which aim at describing electrons in molecules. These so-defined critical points can be computed numerically by a totally new algorithm. Numerical results are provided for the first excited state of two-electron systems. In the second part, we study a mountain pass lemma modelling adiabatic reactions in the Schrödinger time-independent framework. We prove the existence of a mountain pass point, assuming that the molecules at infinity are charged or polarized. Our last part is devoted to the study of the polarization of the vacuum with the Bogoliubov-Dirac-Fock model, a relativistic mean-field theory deduced from quantum electrodynamics. Our energy is bounded from below and has a minimizer which can be interpreted as the polarized vacuum.