Stabilisation globale de systèmes dynamiques positifs malconnus : applications en biologie

par Ludovic Mailleret

Thèse de doctorat en Automatique

Sous la direction de Jean-Luc Gouzé et de Olivier Bernard.

Soutenue en 2004

à Nice , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) , en partenariat avec Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences (autre partenaire) .

mots clés

• Systèmes dynamiques
• Systèmes non linéaires
• Commande de processus biotechnologiques

Résumé

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur des problématiques de contrôle de systèmes non-linéaires d’équations différentielles ordinaires positifs. Les modèles issus des sciences de la vie, chargés de décrire l’évolution de quantités positives, appartiennent à cette classe de systèmes. Ces modèles comportent souvent certaines parties, liées à la biologie du processus considéré, qui sont de formes analytiques incertaines mais connues qualitativement. Nous proposons ici d’exploiter ces propriétés qualitatives au moyen d’une commande utilisant une mesure de l’incertitude, afin d’imposer au système un comportement simple : la convergence de l’état vers un équilibre unique et réglable. Après un bref état de l’art sur les systèmes positifs, nous introduisons les classes de systèmes pour lesquelles une stratégie de commande assurant la stabilisation globale est proposée. L’ajout d’une partie adaptative améliore cette stratégie, permettant alors de rejoindre un équilibre choisi, en dépit d’incertitudes paramétriques. Nous appliquons ces résultats théoriques à plusieurs modèles biologiques : gestion de la pêche, culture de micro-organismes en bioréacteurs… Une de nos principales applications porte sur la stabilisation de bioprocédés exploitant e réseaux trophiques microbiens en cascade. Nous avons pu valider expérimentalement notre démarche sur un cas particulier de ces procédés : un fermenteur anaérobie, procédé de traitement biologique de l’eau à haut rendement mais très sensible aux conditions opératoires.

Titre traduit

Global stabilization of poorly known positive dynamical systems applications to biology

Résumé

Works presented in this thesis focus on problems related to the control of positive systems of nonlinear ordinary differential equations. Biological models that aim at describing the evolution of positive quantities do belong to this class of systems. These models often include some parts, related to the phenomenon’s biology, which have unknown analytical expressions but are known in a qualitative manner. In this thesis, we propose to use these qualitative properties together with a control law, based on the measurement of the uncertain part, in order to globally stabilize any trajectory towards a single equilibrium. A brief state of the art on positive systems begins the thesis. We introduce then a control law, able to ensure the global stabilization of the considered class of systems. The introduction of an adaptive part enhances our approach, so that the control law is able to deal with some parameter uncertainties. We apply these results to some biological models : fishery management model, bioreactors exploiting microorganisms… One of our main applications concerns cascade bioreactions occurring in bioreactors some experimental tests of our approach on an anaerobic digester, an efficient but very sensitive waste water treatment plant, validate our approach.