Ensemble des double-classes pour la désintégration des représenations des groupes de Lie nilpotents et noyaux d'opérateurs sur les groupes de lie exponentiels

The set of double-classes to disintegrate representations on nilpotent Lie groups, and operator kernels of exponential Lie groups

• Auteur / Autrice : Jawhar Abdennadher
• Direction : Jean Ludwig
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Metz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de Lie nilpotents

Résumé

La thèse comporte deux parties indépendantes. Après un rappel au chapitre 1 à plusieurs notions utiles pour la suite, la première partie commence par concrétiser l'ensemble des doubles-classes H \G /B. Dans cette notation, G = exp g désigne un groupe de Lie nilpotent, connexe et simple connexe, et H et B sont deux sous-groupes fermés de G. Le chapitre 2 est donc consacré à la description de cet ensemble qui permet ensuite de le munir d'une "bonne" mesure. C'est ce qu'il servira dans le chapitre 3 pour désintégrer la restriction au sous-groupe H, d'une représentation unitaire et irréductible p de G, induite à partir d'un caractère C 1 sur B. On obtiendra aussi de façon explicite l'expression d'un opérateur d'entrelacement isométrique qui justifie l'équilvalence entre pIh et sa désintégration en irréductibles. Comme application à ce résultat, on traite le cas du produit tensoriel des représentations et on énoncera un critère pour son irréductibilité. La deuxième partie qu'on étudie dans le chapitre 4 ne sort pas du cadre dres représentations des groupes de Lie. Elle concerne en effet les noyaux d'opérateurs des représentations unitaires et irréductibles des groupes de Lie exponentiels. A ce propos, un résultat de Leptin qu'il prétend prouver dans un de ses papiers sera mis en cause. En effet, un contre-exemple sera construit de sorte que la fonction proposée F Î C8 c (G/BxG/ ; C1) ne puisee être le noyau d'aucune fonction ? ÎL1(G), pourtant , la polarization b = Lie B est apprivoisée (donc vérifiant l'hypothèse de Leptin). On terminera ce chapitre par regarder le cas où la plarisation est un idéal, dans lequel on construit un rétracte, tout en prouvant que le résultat devient vrai.

This thesis contains two independent parts. After recalling in chater 1 certain notions useful in the following, we begin the first part by the study of the set H \G /B of the double classes. Here, G = exp g is a nilpotent, connected and simply connected Lie group and H and B are two closed subgroups of G. Then, we devote chapter 2 to the description of the double classes which conduces us to concretize a " good " measure on this set. This is what we need in chapter 3 to desintegrate the restriction to the subgroup H of a unitary irreductible representation p de G which is induced from a character C 1 of B. We obtain explicitly the disintegration of pIh into irreducibles, and an intertwining isometric operator. As an application of this result, we study the tensor product of representations and we prove a necessary and sufficient condition for its irreducibility. The second part of the thesis is also about the representation theory of Lie groups. In fact, we study in chapter 4 the operator kernels for irreducible unitary representations of exponential Lie groups. A result appeared in a paper by Leptin will be discussed. We give counterexemple of a function F Î C8 c (G/BxG/ ; C1) which can not be a kernel operator of any ? ÎL1(G), even though the polarization b = Lie B satisfies Leptin's hypothesis (since the given b is a tame polarisation). We conclude the last chapter considering the case where b is an ideal of g. Here, constructing a retract, we prove that Leptin's result becoms correct.