Algorithmique modulaire des équations différentielles linéaires

par Thomas Cluzeau

Thèse de doctorat en Mathématiques. Calcul formel

Sous la direction de Moulay Abdelfattah Barkatou et de Jacques-Arthur Weil.

Soutenue en 2004

à Limoges , en partenariat avec Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Solutions hypergeometriques
• Solutions exponentielles
• Solutions polynomiales
• P-courbure
• Eigenring
• Algorithmes
• Calcul formel
• Équations différentielles aux différences

Résumé

Les méthodes modulaires conduisent à des algorithmes très efficaces dans de nombreux domaines en calcul formel et notamment dans celui des équations algébriques. Le but de cette thèse est de montrer comment ces techniques modulaires s'adaptent au cas différentiel et permettent de développer de nouveaux algorithmes (ou d'améliorer des algorithmes existants) pour l'étude d'équations différentielles linéaires. La première partie traite du problème de la factorisation d'opérateurs différentiels en caractéristique positive. Le "miracle" de la caractéristique p est que le problème peut se réduire à de l'algèbre linéaire. En exploitant ce fait, nous développons un algorithme de factorisation de systèmes différentiels. Nous donnons la complexité des différentes étapes de cet algorithme. Enfin, nous le généralisons au cadre de systèmes d'équations aux dérivées partielles. L'objet de la deuxième partie est de rendre plus efficace l'algorithme de Beke pour le calcul des solutions exponentielles d'équations différentielles linéaires. Cet algorithme possède deux inconvénients majeurs qui le rendent peu efficace : un problème combinatoire et un problème de corps. Nous montrons qu'en combinant des informations "géométriques" locales (les exposants généralisés) et des informations "arithmétiques" modulaires (les valeurs propres de la p-courbure), nous pouvons diminuer le nombre de combinaisons considérées habituellement par l'algorithme et réduire le degré des extensions algébriques du corps de base nécessaires au calcul des solutions exponentielles. Dans la troisième partie, nous démontrons qu'une démarche similaire s'applique pour le problème analogue dans le cas des équations aux différences. Finalement, dans la dernière partie, nous développons un algorithme entièrement modulaire calculant les solutions polynomiales d'équations différentielles linéaires en caractéristique zéro. Nous évaluons la pertinence des informations modulaires que l'on peut obtenir pour ce problème. Nous donnons et comparons les complexités de notre algorithme et des algorithmes existants. Puis, grâce à des comparaisons expérimentales, nous exhibons des classes d'équations pour lesquelles notre approche modulaire est mieux adaptée que les algorithmes existants. La plupart de nos algorithmes ont été implantés dans le logiciel de calcul formel Maple

Titre traduit

Modular algorithmic of linear differential equations

Résumé

Modular methods lead to very efficient algorithms in many areas of computer algebra and particularly for the study of algebraic equations. The goal of this thesis is to show how these modular techniques can be adapted to the differential case and allow to create new algorithms (or to improve existing algorithms) for linear differential equations. The first part deals with the factorisation of differential operators in positive characteristic. The "miracle" in characteristic p is that the problem reduces to linear algebra. Using this fact, we develop algorithm for factoring differential systems. We give the complexity of the distinct steps of this algorithm. Finally, we generalize it to the setting of partial differential systems. The topic of the second part is making Beke's algorithm to compute the exponential solutions of linear differential equations more efficient. This algorithms suffers from two drawbacks : a combinatorial problem and a field problem. We show that combining local "geometric" data (the generalized exponents) and modular "arithmetic" data (the eigenvalues of the p-curvature) allows to decrease the number of combinations usually considered by the algorithm and to reduce the degree of the algebraic extensions of the base field needed to compute the exponential solutions. In the third part, we prove that a similar approach applies to the same problem for difference equations. In the last section, we develop a fully modular algorithm for computing the polynomial solutions of linear differential equations in characteristic zero. We evaluate the relevance of the modular informations that can be obtained for this problem. We give and compare the complexity of our algorithm and that of the existing ones. Finally, thanks to experimental comparisons, we exhibit a class of differential equations for which our modular approach is more relevant than existing algorithms. Most of our algorithms have been implemented in the computer algebra system Maple