Réduction de modèles par des méthodes de décomposition orthogonale propre

par Thibault Henri

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean-Pierre Yvon.

Soutenue en 2004

à Rennes, INSA .

mots clés

• Décomposition orthogonale propre
• Karhunen-Loeve décomposition
• Contrôle optimal

Résumé

La modélisation de systèmes complexes conduit à la résolution numérique de problèmes de très grande taille, par exemple dans le cas de discrétisations par des méthodes d'éléments finis. Une alternative consiste à utiliser des données connues a priori pour réduire la taille du système à résoudre. Etant donnée la solution u d'un problème d'évolution, les méthodes de décomposition orthogonale propre (POD) permettent, à partir de valeurs instantanées u(ti) connues a priori, de construire une base de fonctions sur laquelle on projette le problème : on parle alors de méthodes de POD-Galerkin. Cette méthode a été mise en œuvre notamment dans le cadre de problèmes issus de la mécanique des fluides. On présente une synthèse des méthodes de POD. On montre des résultats de convergence et des estimations dans le cadre parabolique et dans le cadre d'équations générales de la mécanique des fluides. La stabilité de la méthode est prouvée. Des simulations numériques montrent que la taille des systèmes à résoudre est très petite en comparaison des méthodes classiques d'éléments finis. On présente une application intéressante pour la résolution de problèmes de contrôle optimal.

Titre traduit

Reduced order modelling by proper orthogonal decomposition methods

Résumé

Modelling complex systems leads one to solve problems of very high size numerically, for example in case of finite elements discretization. An alternative consists in using a priori known data to reduce the size of the system to solve. Given the solution u of an evolution problem, proper orthogonal decomposition (POD) methods allow one to define a basis of functions from a priori known snapshots u(ti) on which the problem is projected : one speaks of POD-Galerkin methods. This method has been especially implemented in case of fluids mechanics problems. We present a synthesis of POD methods. We show convergence results and estimates in the parabolic case and in the case of general equations in fluids mechanics. The stability of the method is proven. Numerical computations show that the size of systems to solve is very small compared to classical finite elements methods. We present an interesting application to compute the solution of optimal control problems.