Sur la conjecture de Kobayashi et l'hyperbolicité des hypersurfaces projectives en dimension 2 et 3

par Erwan Rousseau

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gerd-Eberhard Dethloff.

Soutenue en 2004

à Brest .

mots clés

• Géométrie hyperbolique
• Fibrés des jets (mathématiques)
• Variétés complexes

Résumé

En 1970, S. Kobayashi a posé le problème de savoir si les hypersurfaces génériques de grand degré de l'espace projectif complexe et leurs complémentaires étaient hyperboliques. Dans la première partie de cette thèse nous montrons dhyperbolicité des complémentaires de courbes génériques à deux composantes de degrés suffisamment grands dans le plan. Dans une seconde partie, nous faisons l'étude des jets de Demailly en dimension 3 et nous obtenons leur caractérisation algébrique. En utilisant la théorie de la représentation des groupes linéaires, ceci nous permet de donner la structure du gradué du fibré des jets d'ordre 3 en dimension 3, étape importante pour obtenir des théorèmes d'hyperbolicité. Nous justifions la nécessité de travailler avec des jets de différentielles d'ordre 3 par l'absence de jets de différentielles d'ordre 2 sur les hypersurfaces lisses de l'espace projectif complexe de dimension 4.

Titre traduit

About the conjecture of Kobayashi and the hyperbolicity of projective hypersurfaces in dimension two and three

Résumé

In 1970, S. Kobayashi asked the question of the hyperbolicity of generic hypersurfaces (and their complement) of high degree in the complex projective space. In the first part of this thesis the hyperbolicity of the complement of generic curves with two components of sufficiently high degrees is proved. In the second part, Demailly's jets are studied in dimension 3 and their algebraic characterization is given. Using the theory of representation of the general linear group, we give the structure of the graded bundle of jets of order 3 in dimension 3, important step to obtain theorems of hyperbolicity. The non existence of global jets of order 2 on smooth hypersurfaces of the projective space of dimension 4 is proved and justifies the necessity to work with jets of order 3.