Equations aux dérivées partielles appliquées à la restauration et à l'agrandissement des images

Partial differential equations applied to the image restoration and image zooming

• Auteur / Autrice : Abdelmounim Belahmidi
• Direction : Antonin Chambolle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul des variations

Holder, Espaces de

Informatique

Reconstruction d'image

Résumé

Dans ce travail, nous avons étudié deux problèmes fondamentaux de la vision : la restauration d'image dans la première partie, puis dans la deuxième partie l'agrandissement d' image. L'introduction de la première partie est une présentation des méthodes mathématiques de restauration d'image. En suite, nous présentons les différents travaux théoriques établis sur le modèle de Malik et Perona et son lien avec la doctrine de détection de bord. Ceci nous conduit au choix du modèle que nous étudions dans la suite. Pour ce modèle nous prouvons en petits temps et en toutes dimensions, existence et unicité d'une solution classique. Ensuite, en dimensions un et deux, nous construisons un schéma numérique dont nous prouvons la convergence vers une solution faible. Nous clôturons cette partie par illustrer quelques exemples d'application du modéle. Dans la deuxième partie nous abordons le problème de l'agrandissement des images. Après avoir exposé les méthodes qui existent dans la littérature, nous proposons une approche basée sur l'analyse géométrique de l'image. Nous utilisons ensuite la théorie des solutions de viscosité pour prouver que le modèle proposé est bien posé. Enfin nous discutons de la résolution numérique du modèle et nous présentons quelques exemples d'applications.

This thesis consists in two parts in which we study two problems of computer vision : image restoration in the first part and image zooming in the second part. In the introduction of our first part we present the main mathematical models that have been proposed for the restoration (denoising and edge enhancement) of digital images. Then we discuss edge-detection theory and the Malik and Perona model. We introduce various variants that have been proposed to stabilized the (ill-posed) Malik and Perona equation and in particular the model which we will study in the following chapters. For this model in all dimensions, we prove in small time existence and uniqueness of a classical solution. We then construct (in one and two dimensions) a numerical approximation and prove its convergence to a weak solution. As conclusion of this part, we present some experiments. We begin the second part by presenting existing image zooming methods. Using geometrical arguments, we propose a new approach based on a partial differential equation. Next we prove the well posedness of the model using the theory of the viscosity solutions. We then discuss the discretisation of the model, and finally present some experiments.