Spécificités et potentialités de l'arithmétique élémentaire pour l'apprentissage du raisonnement mathématique.

par Véronique Battie

Thèse de doctorat en Lettres, sciences humaines et sociales

Sous la direction de Michèle Artigue.

Soutenue en 2003

à Paris 7 .

mots clés

• Mathématiques -- Étude et enseignement (secondaire)
• Raisonnement
• Arithmétique
• Didactique
• Mathématiques -- Philosophie

Résumé

A l'articulation entre analyse épistémologique et analyse didactique, notre recherche vise à identifier les potentialités de l'arithmétique pour l'apprentissage du raisonnement mathématique et à étudier l'écologie de celles-ci en classe de terminale scientifique où ce champ été réintroduit depuis peu. L'analyse épistémologique s'est appuyée sur la distinction entre deux dimensions du raisonnement que nous avons qualifiées respectivement de dimension organisatrice et dimension opératoire. Elle s'est attachée à identifier les formes que prennent ces dimensions dans le cas particulier de l'arithmétique, à travers l'étude de nombreux exemples de preuves, et a mis en évidence les potentialités qui en résultent pour l'apprentissage du raisonnement mathématique. L'analyse didactique a conjugué l'étude de différents corpus: sujets du baccalauréat, brochures destinées aux enseignants, copies d'une épreuve d'entraînement au baccalauréat, transcriptions d'une séance de recherche en groupes en classe de terminale scientifique. A travers l'étude menée sur le versant institutionnel (sujets de baccalauréat, documents pour les enseignants), elle a montré une exploitation certaine mais limitée des potentialités identifiées a priori et mis en évidence certains ressorts de la réduction opérée. L'analyse de travaux d'élèves a, quant à elle, montré à la fois une créativité mathématique certaine des élèves mais aussi des difficultés de raisonnement indéniables et permis d'en préciser la nature. L'analyse didactique nous a conduit à mieux percevoir à la fois l'intérêt et les limites de l'étude épistémologique qui l'avait précédée.

Résumé

In this doctorate thesis, combining epistemological and didactic approaches, we study the potential of elementary number theory for the learning of mathematical reasoning, and the ecology of this potential in the French grade 12 curriculum where number theory has been reintroduced for scientific students in 1998. The epistemological analysis relies on the distinction between two complementary dimensions of reasoning called respectively the organizing dimension and the operative dimension. By analysing historical and modern proofs in this field, we identify the specific characteristics these two dimensions present in number theory and the potential for the learning of mathematical reasoning that result from these characteristics. The didactic analysis uses different sources: exercises proposed at the baccalauréat examination, didactic material published for teachers, students' production at a training test for the baccalauréat, transcripts of a research session in a grade 12 classroom. The institutional analysis developed on baccalauréat exercises and teacher resources shows that the potential a priori identified is only partially exploited in the French curriculum, and gives some rationale for that. The analysis of students' productions shows an evident creativity of these in terms of reasoning modes, but also some serious difficulties which it helps understand. Moreover, the didactic analysis leads us to better understand both the interest and limits of the epistemological approach.