Asymptotic zero distribution of orthogonal polynomials with respect to complex measures having argument of bounded variation

par Küstner Reinhold

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Laurent Baratchart.

Soutenue en 2003

à Nice , dans le cadre de École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice) .

mots clés

• Polynômes orthogonaux
• Distribution asymptotique (théorie des probabilités)
• Potentiel, Théorie du

Titre traduit

Distribution asymptotique des zéros de polynômes orthogonaux par rapport à des mesures complexes ayant un argument à variation bornée

Résumé

We determine the asymptotic pole distribution for three types of best approximants (Padé at infinity, rational in L2 on the unit circle, meromorphic in the unit disk in Lp on the unit circle, p>2) of the Cauchy transform of a complex measure under the hypothesis that the support S of the measure is of positive capacity and included in (-1 1), that the measure satisfies a density condition and that the argument of the measure is the restriction of a function of bounded variation ? The denominator polynomials of the approximants satisfay orthogonality relations ? By means of a theorem of Kestelman we obtain geometric constraints for the zeros which imply that every weak limit measure of the associated counting measures has support included in S. Then, with the help of results from potential theory in the plane, we show that the counting measures converge weakly to the logarithmic respectively hyperbolic equilibrium distribution of S.

Résumé

On détermine la distribution asymptotique des pôles pour trois types de meilleurs approximants (Padé à l’infini, rationnel en L2 sur le cercle unité, méromorphe dans le disque unité en Lp sur le cercle unité, p>2) de la transformée de Cauchy d’une mesure complexe sous l’hypothèse que le support S de la mesure soit de capacité positive et inclus dans (-1, 1), que la mesure satisfasse une condition de densité et que l’argument de la mesure soit la restriction d’une fonction à variation bornée. Les polynômes dénominateurs des approximants satisfont des relations d’orthogonalité. Au moyen d’un théorème de Kestelman, on obtient des contraintes géométriques pour les zéros qui impliquent que chaque mesure limite faible des mesures de comptage associées à son support inclus dans S. Puis, à l’aide de résultats de la théorie du potentiel dans le plan, on montre que les mesures de comptage convergent faiblement vers la distribution d’équilibre logarithmique respectivement hyperbolique de S.