Aux origines de l'arithmétique formelle : définitions du nombre naturel entre Frege et Quine, postures philosophiques et déterminations cognitives

par Fernand Doridot

Thèse de doctorat en Épistémologie et histoire des sciences

Sous la direction de Patrice Bailhache.

Soutenue en 2003

à Nantes .

mots clés

• Nombres naturels -- Histoire
• Théorie des ensembles

Résumé

Ce travail reconstruit autour de trois grandes périodes l'histoire des tentatives de définition du nombre naturel entre Frege et Quine. Un premier paradigme définitoire, marqué par l'usage de l'axiome d'infini, émerge vers 1880 autour de Frege, Peano et Dedekind. Il lui succède, à partir de l'apparition des paradoxes, une période de débats mathématiques et philosophiques entre Hilbert, Poincaré et Russell ; centrés autour du statut de l'induction complète et des problèmes d'imprédicativité, ils se poursuivent jusqu'en 1912. Puis à partir de Zermelo apparaît un second paradigme ; il oriente le problème vers la caractérisation des ensembles finis, dont sont fournies, de Tarski à Quine, plusieurs variantes concurrentes. On s'attache ensuite aux leçons de ce processus historique pour une philosophie des mathématiques, au regard notamment des recherches contemporaines sur la cognition numérique.

Titre traduit

At the origins of formal arithmetic : definitions of natural integers from Frege to Quine, philosophical positions and cognitive determinations

Résumé

This work delineates the three main stages in the history of the attempts to define natural integers from Frege to Quine. The first defining paradigm, revolving around the infinity axiom, appears around 1880 in Frege's, Peano's and Dedekind's writings. With the emergence of paradoxes, and until 1912, a period of philosophical and mathematical debates goes on between Hilbert, Poincaré and Russel. These debates focus on the status of complete induction and umpredicativity. Then, with Zermelo, a second paradigm appears. It shifts the problem towards the characterization of finite sets, and several rival versions of such a characterization are provided from Tarski to Quine. Finally, this historical process is re-examined from the perspective of the philosophy of mathematics and of contemporary research in numerical cognition.