Analyse multifractale 2D et 3D à l'aide de la transformation en ondelettes : application en mammographie et en turbulence développée
par Pierre Kestener
Thèse de doctorat en Sciences physiques et de l'ingénieur
Sous la direction de Alain Arnéodo.
Soutenue en 2003
à Bordeaux 1 .
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Résumé
Depuis une dizaine d'années, la transformée en ondelettes a été reconnue comme un outil privilégié d'analyse des objets fractals, en permettant de définir un formalisme multifractal généralisé des mesures aux fonctions. Dans une première partie, nous utilisons la méthode MMTO (Maxima du Module de la Transformée en Ondelettes) 2D, outil d'analyse multifractale en traitement d'images pour étudier des mammographies. On démontre les potentialités de la méthode pour le problème de la segmentation de texture rugueuse et la caractérisation géométrique d'amas de microcalcifications, signes précoces d'apparition du cancer du sein. Dans une deuxième partie méthodologique, nous généralisons la méthode MMTO pour l'analyse multifractale de données 3D scalaires et vectorielles, en détaillant la mise en oeuvre numérique et un introduisant la transformée en ondelettes tensorielle. On démontre en particulier que l'utilisation d'une technique de filtres récursifs permet un gain de 25 à 60 % en temps de calcul suivant l'ondelette analysatrice choisiepar rapport à un filtrage par FFT. La méthode MMTO 3D est appliquée sur des simulations numériques directes SND) des équations de Navier-Stokes en régime turbulent. On montre que les champs 3D de dissipation et d'enstrophie pour des nombres de Reynolds modérés sont bien modélisés par des processus multiplicatifs de cascades non-conservatifs comme en témoigne la mesure de l'exposant d'extinction kappa qui diffère significativement de zéro. On observe en outre que celui-ci diminue lorsqu'on augmente le nombre de Reynolds. Enfin, on présente les premiers résultats d'une analyse multifractale pleinement vectorielle des champs de vitesse et de vorticité des m^emes simulations numériques en montrant que la valeur du paramètre d'intermittence C_2, mesuré par la méthode MMTO 3D tensorielle, est significativement plus grand que celle obtenue en étudiant les incréments de vitesse longitudinaux 1D.
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Résumé
Since the end 80's, wavelet transform has been recognized as a privileged tool to study fractal objects, providing a unified multifractal formalism for both functions and measures. In the first part, we use the 2D WTMM (Wavelet Transform Modulus Maxima) methodology to study mammography. We illustrate the usefulness of the methodology in the study of texture segmentation of rough surfaces and in the geometric characterization of clusters of microcalcifications, which are early signs of breast cancer. In a second methodologic part, we generalize the WTMM method to provide a multifractal description of both 3D scalar and vectorial data fields, introducing the tensorial wavelet transform. We show that a recursive filter technique allows to save between 25 % and 60 % of computing time, as compared with FFT based filtering techniques. Then we apply the 3D WTMM method to Direct Numerical Simulations (DNS)of the Navier-Stokes equations in turbulent regime with moderate Reynolds numbers. By mesuring a significantly non-zero cancellation exponent, we bring evidence that multifractal properties of both 3D dissipation and enstrophy fields are well accounted for non-conservative multiplicative cascading processes. Moreover, we observe that the cancellation exponent decreases as the Reynolds number increases. Finally, we present the first results of a fully vectorial multifractal analysis of both velocity and vorticity fields on the same numerical simulations showing that the value of the intermittence parameter C_2, as measured by the tensorial 3D WTMM method, is significantly larger than the one obtained by studying 1D longitudinal velocity increments.
