Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés
par Loïc Foissy
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Jacques Alev.
Soutenue en 2002
à Reims .
mots clés-
Résumé
Connes et Kreimer ont introduit une algèbre de Hopf des arbres enracinés (éventuellement décorés) Hr dans le but d'étudier la Renormalisation. Nous introduisons ici une algèbre de Hopf des arbres enracinés plans décorés Hpr, généralisant la construction de Hr. Cette algèbre de Hopf vérifie une propriété universelle en cohomologie de Hochschild. Nous montrons que cette algèbre est auto-duale. Cette propriété entraîne l'existence d'un couplage de Hopf entre Hpr et elle-même ; en conséquence, la base duale de la base des forêts permet de décrire l'espace des primitifs de Hpr, puis de trouver les primitifs de Hr par passage au quotient, ce qui répond à une question de Kreimer. Nous étudions de plus les Hr- et les Hpr-comodules de dimension finie et nous établissons le lien entre Hpr et d'autres algèbres de Hopf d'arbres telles que les algèbres de Brouder et Frabetti, de Loday et Ronco, de Grossman et Larson, ou la quantification de Hpr de Moerdijk et van der Laan.
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Titre traduit
Hopf algebras of decorated rooted trees
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Résumé
Connes and Kreimer have introduced a Hopf algebra of (decorated) rooted trees Hr, in order to study Renormalization. We introduce here a Hopf algebra of planar decorated rooted trees Hpr, which construction generalizes the construction of Hr. This Hopf algebra satisfies a universal property in Hochschild cohomology. We show that it is self-dual. This property induces the existence of non-degenerate Hopf pairing between Hpr and itself. As a consequence, the dual basis of the basis of forests allows to find a basis of the space of the primitive elements of Hpr, and then to find all primitive elements of Hr, answering a question of Kreimer. Moreover, we study the Hr- and Hpr-comodules of finite dimension, and we establish the link between Hpr and several other Hopf algebras of trees, such as the Hopf algebras of Brouder and Frabetti, of Loday and Ronco, of Grossman and Larson, or the quantization of Hpr of Moerdijk and van der Laan.
