Sur une équation elliptique non linéaire dégénérée.

par Amira Obeid

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Mohamed Amara.

Soutenue en 2002

à Pau .

mots clés

• Fonctions à variation bornée
• Sobolev, Espaces de

Résumé

L'objectif de ce travail est d'établir l'existence et l'unicité de la solution pour une équation elliptique non linéaire dégénérée, posée dans un domaine non borné. Dans un premier temps, on mène notre étude dans un domaine borné et ceci en tronquant le domaine infini. Dans la première partie, on introduit le problème variationnel associé qui se traduit en terme d'une fonctionnelle non coercive à minimiser. Ainsi, on associe au problème de minimisation un problème dual puis on montre pour ce dernier l'existence et l'unicité de la solution. On prouve par l'extraction d'une sous-suite minimisante l'existence d'une solution liée à celle du pro-blème dual. Dans la deuxième partie, on définit un problème relaxé ayant le même infimum que le problème initial et on prouve l'existence d'une solution pour le problème relaxé. Les résultats de la première partie sont étendus au cas non borné. Enfin on estime l'erreur de tron-cature entre les solutions du problème dual dans le cas borné et non borné.

Titre traduit

On a degenerated nonlinear elliptic equation.

Résumé

This work deals with the existence and the uniqueness of the solution for a degenerated nonlinear elliptic equation, posed in an unbounded domain. In a first time, using truncation technique, we reduce the study to a bounded domain. In the first part, we introduce the as-sociated variational problem exprimed as a noncoercive integral functional which has to be minimized. We introduce a dual problem associated to the initial problem and we prove for this last the existence and the uniqueness of the solution. We establish by extracting a mini- mizing subsequence the existence of a " solution " related to that of the same infimum that the initial problem and we prove that this infimum is a minimum for the relaxed problem. The results or the first part are extended to the unbounded case. Next, we estimate the truncated error between the solutions for the dual problem defined in the bounded and unbounded case.