Stabilité de l'accessibilité des difféomorphismes partiellement hyperboliques

par Philippe Didier

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Philippe Thieullen.

Soutenue en 2002

à Paris 11 .

mots clés

• @Accessibilité (Mathématiques)
• Difféomorphismes
• Feuilletages (mathématiques)
• Espaces hyperboliques
• Théorie ergodique
• Riemann, Variétés de
• Stabilité

Résumé

Soit M une variété Riemannienne lisse, compacte et connexe. Un difféomorphisme f est dit partiellement hyperbolique dès que le fibré tangent de M admet une décomposition de Whithney, invariante sous Faction de la différentielle de f, en des sous fibrés instable, stable et central. La différentielle de f est respectivement uniformément dilatante et contractante sur les composantes instable et stable. Son comportement dans la direction centrale est uniformément strictement moins dilatant (resp. Contractant) que dans la direction instable (resp. Stable). Le théorème d'Hadamard-Perron implique que le sous-fibré instable (resp. Stable) s'intègre en un unique feuilletage continu de M par des feuilles lisses dit feuilletage instable (resp. Stable) de f. Un difféomorphisme f partiellement hyperbolique est dit accessible dès que toute paire de points de M peut être reliée par une concaténation finie de feuilles instable et stables. Nous étudions des critères permettant d'obtenir l'accessibilité et la stabilité de cette propriété pour de petites perturbations de f. Nous avons démontré que l'accessibilité est une propriété stable si le sous-fibré central est de dimension un. Ce théorème est la conséquence d'une généralisation d'un résultat de Joseph F. Plante (1972) : si f un difféomorphisme partiellement hyperbolique dont les feuilletages instable et stable sont jointement intégrables alors la somme des sous-fibrés instable et stable s'intègre en un feuilletage continu par des feuilles lisses et sous feuilleté par les feuilletages instable et stable de f.

Titre traduit

Stability of accessibility of partially hyperbolic diffeomorphisms

Résumé

Let M be a smooth, compact and connected Riemannian manifold. Partially hyperbolic diffeomorphisms of M are a generalization of the Anosov diffeomorphisms : they have uniformly contracting and expanding directions with non complementary dimensions. By the Hadamard-Perron theorem, these directions are uniquely integrable : the foliations obtained are respecfively the unstable and stable foliations. Such diffeomorphism is accessible if every pair of points in M can be connected by a path which is piecewise in stable or an unstable leaf. We have studied necessary conditions for partially hyperbolic diffeomorphisms to be accessible and stably accessible under small perturbations of the diffeomorphism. We prove that accessibility is stable for partially hyperbolic diffeomorphism for which the Whitney sum of the unstable and stable directions is of codimension one. This theorem is a consequence of generalization of a result of Joseph F. Plante (1972) : if the unstable and stable foliations of a partially hyperbolic diffeomorphism are jointly integrable then the Whitney sum of the unstable and stable directions is uniquely integrable, and the integral foliation is subfoliated by the the unstable and stable foliations.