Suites de faible complexité et fractals

par Bo Tan

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jacques Peyrière et de Zhi-Xiong Wen.

Soutenue en 2002

à Paris 11 en cotutelle avec l'Université de Wuhan (Chine) , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Suites (mathématiques)
• Suite de Fibonnaci
• Suite sturmienne
• Fractales

Résumé

This work deals with sequences of low complexity. Their properties are studied from different viewpoints: combinatorial, arithmetic, and geometric. The four first chapters are devoted to study the following properties of sequences over a two-letter alphabet: factors composition matrix, geometric generation of sturmian sequences, local isomorphism, and characterization of substitutions having two fixed points which differ only by a prefix. In the following two chapters, substitutions on a three-letter alphabet are studied. In chapter 7, it is shown that the spectrum of a discrete Schrodinger operator whose potential is generated by a primitive and non-periodic substitution has zero Lebesgue measure. The last chapter deals with topological properties of attractors of IFSs.

Titre traduit

Sequences of low complexity and fractals

Résumé

Dans ce travail, les suites de faible complexité, et plus particulièrement celles qui engendrées par substitution, sont étudiées sous différents aspects : combinatoires, arithmétiques et géométriques. Les quatre premiers chapitres traitent des propriétés suivantes des suites sur un alphabet de deux lettres : matrice de composition des facteurs, génération géométrique d'une suite sturmienne, isomorphisme local de deux suites substitutives et caractérisation des substitutions qui ont deux points fixes qui ne diffèrent que d'un préfixe. Les substitutions sur un alphabet de trois lettres sont étudiées dans les chapitres 5 et 6. Dans le chapitre 7, il est montré que le spectre d'un opérateur de Schrödinger discret dont le potentiel est engendré par une substitution primitive et non périodique est de mesure nulle. Le dernier chapitre porte sur la connexité des attracteurs des IFS.