Modèles et outils pour les invariances d'échelle brisées : variations sur la transformation de Lamperti et contributions aux modèles statistiques de vortex en turbulence.

Models and methods for broken scale invariance : Variations on the Lamperti transformation and contributions on vortices collections for turbulence modeling

• Auteur / Autrice : Pierre Borgnat
• Direction : Patrick Flandrin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure (sciences)

Mots clés

Mots clés libres

Invariance d'échelle

Temps-échelle

Décomposition de Mel

Turbulence

Temps-fréquence

Transformation de Lamperti

Modèles de vortex

Vortex de Lundgren

Résumé

La transformation de Lamperti, connue pour mettre en correspondance les processus stationnaires et les processus auto-similaires, nous permet d'aborder de manière générale la description des propriétés en échelle de problèmes physiques ou de signaux tochastiques. La notion d'échelle pertinente est montrée être celle construite sur les décompositions de Mellin et nous utilisons l'idée de la correspondance de Lamperti pour étudier les propriétés des processus auto-similaires à l'aide des outils de l'analyse du signal stationnaire. D'autre part l'outil est généralisé aux situations non invariantes en échelle ou avec des invariances brisées, et offre une correspondance généralisée avec les problèmes d'analyse de signaux non stationnaires. Des méthodes de représentation, de modélisation et d'analyses sont construites de cette manière, en particulier les classes de représentations mixtes temps-échelle. Nous étudions des situations spécifiques de brisure de l'invariance en échelle incorporant les effets de taille finie, ou une invariance seulement locale, et nous mettons l'accent sur la propriété d'invariance en échelles discrètes stochastique que nous introduisons comme correspondant en échelle à la cyclostationarité. Parallèlement, la turbulence développée, dont les propriétés en échelle sont un ingrédient important, a été abordée par l'angle des modèles fondés sur des collections statistiques d'objets cohérents comme des vortex. Nous avançons quelques rélfexions sur la caractérisation de la signature de ces objets structurés et avons spécifiquement examiné le modèle de vortex de Lundgren, en cherchant à le formuler à l'aide des outils en échelle de Mellin.