Solutions des équations d'Einstein, des applications d'onde et de l'équation d'onde semi-linéaire en régime de rayonnement

par Olivier Lengard

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Piotr T. Chruściel.

Soutenue en 2001

à Tours .

mots clés

• Systèmes hyperboliques non linéaires
• Équations d'onde non linéaires
• Relativité restreinte (physique)
• Sobolev, Espaces de

Résumé

Cette thèse traite de l'existence locale de solutions de certains systèmes hyperboliques dans des espaces de Sobolev à poids ainsi que dans l'espace des fonctions polyhomogènes. Ces espaces sont définis pour des variétés riemaniennes N à bord compact non vide caractérisé par une fonction régulière x qui fournit le poids. Dans la première partie, nous considérons l'équation d'onde scalaire semi-linéaire et les applications d'onde harmoniques dans une compactification conforme de l'espace-temps de Minkowski. Nous prouvons en particulier des inégalités de type énergie à poids pour une classe de systèmes linéaires hyperboliques, ce qui nous permet d'obtenir des estimées à poids pour l'équation d'onde semi-linéaire et les applications d'onde harmoniques. L'existence locale dans les espaces de Sobolev à poids appropriés s'en déduit de manière classique. L'existence de solutions polyhomogènes requiert une hiérarchie de conditions de compatibilité sur les données initiales pour obtenir une régularité suffisante des dérivées par rapport au temps de la solution. Pour les équations d'Einstein, l'obtention de résultats similaires est plus difficile. Nous utilisons la formulation conforme des équations d'Einstein du vide de Friedrich avec un choix de jauge isotrope. Ce choix est motivé par le comportement singulier de certaines composantes isotropes du tenseur de Weyl. A partir d'une décomposition isotrope des équations de Bianchi du type Klainermann Christodoulou, nous dérivons des estimées à poids sur les champs considérées, ce qui permet de prouver un théorème d'existence locale dans des espaces de type Sobolev à poids.

Titre traduit

Solutions of Einstein equations, wave maps and the semi-linear in radiating regime

Résumé

This thesis deals with the local existence of solutions of some hyperbolic systems in weighted and polyhomogeneous spaces. By weighted spaces we means Hölder and Sobolev weighted spaces in a Riemannian smooth manifold N with compact closure and. . . , where the "weight" is provided by a positive regular function x defining ǝN. In the first part we will consider the linear of semilinear scalar wave equation and the wave maps equation in a conformal compactification of Minkowski space-time. . .